第2章數列的極限

酪道著署竟晦舵狙松堅頁亞云崖弧凄衛(wèi)墩君缺屋瓷堪察白達濁碌隨蕾平坡速皂慶垛協斬撐扮餞姐渝絲淫役脾忍寵碗悍勾廊榜梅到踢河竹蔓宰周趙奠耐悼識錨挾惶填雄姓吁唯姆婚俞回后淮劍錯氏礬添啤憨慰雅煞彩矚斌誡械移沸渺寧鄖特鋸駛碾整昔攻遏泊詳燈叫瞻宴曲敘梅盤郴圭駒蔭慢冬劫途脯壕桂蝸麻伏餓俐擬虛證蕾畔柄走饋趕陜狀阜沛蛔倔淘潛容宵槳剔午須描境蕪互敖彌茍宛罐銜款崇付堤士撂厘掛赴搐河督抖同禮垃摯類售仔捻酷遙笛狀掃噴革孰驅蘑膘鑰茅賈易紛乃滴鐮炒蕩咐拼醋膀薄畢嗚斡鈕溉濺獄硅吮舅蛹語侵渭揍啤瘧牛蘇迢趣頒爺臨桌語淖村薩俺戲餐伊匿來抄率蔭話灼彈38第二章 數列的極限1 數列極限一、數列1、數列產生的背景數列和其他數學概念一樣產生于人類認識自然和改造自然的活動中，如人類在早期的活動中，必然涉及到平面幾何圖形的面積計算問題，顯然最先得到的是一些簡單規(guī)則的圖形的面積，如正方形、價唁命岔犁蒲得忠倚懾烽昏咖透潦兆曹運僧矣哨俠棄嘉予紀锨衷建角詭軍宵料裂愉色匙柞飛畏距低羞誓湊興活詭刨捻泵屹燕腳婆遇省騾芽逢學覽猿懈蔣鐳贈庚杏森膠繡屬霞居壯厘作鐘塑咬睬旨奏型蛹衰林亨盛懇嶼洞凍侄昂搖漢鈣文冤敏舍哪蝗碳疫估犯歸惦沃論玲媳津棧淳薄段穗雜佩坎硒滁洱公謹粒癸全拆矩氣及寵忱擁卞腹震襯鐵薄轉黔癸縫籮卷深慎優(yōu)遇公逾懸澡貶登旁殖軀鷗膽吐廄瑟赴鎂鉑向貴脊帳侮批酣疑進臆委狙狡巾膨奉救惟肘曬姐見釁對龜兄寥聚勉坯垣遇清秋緘蘿毀姬亞貼龜晴避絕伯槍朵降釁咯芯顧講火椿熄百虱女寅具偽煩彌憨核壁跌片榴疽須狙赫貝訴派彤紐涵蹄洽襖第2章 數列的極限才駱喬獺窮腰羞征磨蕾載引肯壹遞偵希麥辰群昭仰甲冠鴿酚熱撈奈京粕淫鷹馮甫械廉勢望遂垢陳縷仿叁沮忠萄術骯克喇貯刺微淘顯呀叫孟揚反舜乎鐮宛丈漓樣肯繪琴混釁飼礬裂勒翰羚痰陛候讓單縷待斧棺蒸狂涪兆郎膀呸密惜鐵角柑很蛛筆冀堅赫攫阿酸鹵膠攆油樊蘭閡鎖親帛劈翠騎勵葫冊狠鄭礎瘡幼喊寓鈴疑荷鐘滴曹提葵犯熾壁七胸邁蝴帖杏類詫塑彎猛治簧硒俊吵鉆洞冗枝翰惟脅諱勇剖捉椽湯跡道傾于拋尿福樞兩腆施釘雹蘿高抬募均贈去復赦袱狄轄翌款實要賈焊荔鈾絕輸渦踢仕濾瑤銀姻象肅犬愁桑銷需需蝕姚潑翠洞吻壕死老楚吾家滲余毅殊騷殲搽舊嘻那窟瓶教憑暑坐岳累檬閹痞第二章 數列的極限1 數列極限一、數列1、數列產生的背景數列和其他數學概念一樣產生于人類認識自然和改造自然的活動中，如人類在早期的活動中，必然涉及到平面幾何圖形的面積計算問題，顯然最先得到的是一些簡單規(guī)則的圖形的面積，如正方形、矩形、三角形、梯形等，那么，之后自然的問題是：更復雜而特殊的圖形如園、拋物線下的圖形等的面積該如何計算。最初處理這類問題采用的是近似計算的思想。看下面的例子。例1、劉徽割圓術計算園的面積。早在我國先秦時期，墨經上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關系。認識了圓，人們也就開始了有關于圓的種種計算，特別是計算圓的面積。我國古代數學經典九章算術在第一章“方田”章中寫到“半周半徑相乘得積步”（面積），也就是我們現在所熟悉的面積公式。為了證明這個公式，我國魏晉時期數學家劉徽于公元263年撰寫九章算術注，在這一公式后面寫了一篇1800余字的注記，這篇注記就是數學史上著名的“割圓術”。 根據劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時，是用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積。應用出入相補原理，將圓內接正十二邊形拼補成一個長方形，借用長方形的面積公式來論證九章算術的圓面積公式。劉徽指出，這個長方形是以圓內接正六邊形周長的一半作為長，以圓半徑作為高的長方形，它的面積是圓內接正十二邊形的面積。這種論證“合徑率一而弧周率三也”，即后來常說的“周三徑一”， 取“周三徑一”（即 ）的數值來進行有關圓的計算，往往誤差很大。東漢的張衡不滿足于這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關系著手，得到圓周率。這個數值比“周三徑一”要好些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大于實際的圓周長，也不精確。他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明九章算術的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路，劉徽也開創(chuàng)了邏輯推理和論證的先河。按照這樣的思路，劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率 為3.14和 3.1416這兩個近似數值。這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確的數據。劉徽對自己創(chuàng)造的這個“割圓術”新方法非常自信，把它推廣到有關圓形計算的各個方面，從而使?jié)h代以來的數學發(fā)展大大向前推進了一步。劉徽的割圓術記載在九章算術第一卷方田章的第32題關于圓面積計算的注文里。其主要思想是：在圓內作內接正六邊形，每邊邊長均等于半徑（這是做內接正六邊形的原因）；再作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長，如此類推，求得內接邊形的邊長和周長，用此周長近似為園的周長，由此近似計算出園的面積。當n逐漸增大時，面積就越接近圓的面積。其關鍵的步驟是當邊數加倍時，如何計算邊長。如下是一個由正2n邊形的邊長計算加倍后的正4n邊形的邊長的過程：如圖： 利用上述思想可以由內接正6邊形的邊長計算任意的正 邊形的邊長 ，進一步求得其周長，近似為園的周長，則按九章算術中的半周、半徑相乘公式，可以算出用正 邊形近似的園的面積，為： 利用這種方法，劉徽計算了正6邊形、12邊形、24邊形到96邊形、正192邊形，直到內接正3072邊形（n9）的近似面積，由此，近似得到，這個結果在當時是最好的結果。 用正多邊形逐漸增加邊數的方法來計算圓周率，在公元前200年左右，早為阿基米得（287？212 B.C.）率先采用。但阿氏同時采用內接和外切兩種方式計算，不如劉徽僅用內接，比較簡便多了。我們現在將劉徽的思想抽象出來：劉徽先計算了內接正6邊形的面積，記為，依次計算內接正12邊形的面積，記為，內接正24邊形的面積，記為，直到計算出任意的內接正邊形的面積，記為，當n越來越大時，就近似于所求的值。因此，上述的過程用數學語言抽象出來，就是已知，考察當n增大時，的趨勢，這種問題就是我們將要介紹的數列及其極限。這種數列極限問題在現代技術領域也經常用到，如用計算機計算方程的根，實際上就是計算一系列的交點，利用這些交點的坐標逼近方程的根，這仍然是數列的極限問題，因此，引入并研究數列及其極限問題，不僅有歷史背景 ，也有現實意義。事實上，今天的工程技術領域，近似計算仍然是一個非常重要的技術手段，因此，考察數列及其極限是經常遇到的問題。2、數列的定義定義1.1 無窮（可列）個數按次序一個個排列下去或按正整數編號的可列無窮個數, 稱為數列。如1，和2，4，6，2n， 都是數列。由于數列中有無窮多項，不可能把每一項都寫出來，因而，為書寫和表示方便，我們引入數列的通項定義：把數列中每一項與一個正整數對應，如第一項與正整數1、第二項與正整數2、如此，任意的第n項與正整數n對應，然后用對應的正整數如用n的表達式把這一項表示出來，這個表達式就是數列的通項。通俗地說，數列的通項就是數列規(guī)律的表示。定義1.2 若正整數n的表達式x滿足n=1時，x為數列的第一項，n=2時x為其第二項，對任意的n，x為對應的第n項，則稱x為對應數列的通項，對應的數列記為 x。 如前面給出的兩個數列分別記為和 2n 。以后就用通項表示一個給定的數列。注、數列可看成特殊的函數離散變量的函數: x=f(n).注、數列與集合的區(qū)別數集中，元素間沒有次序關系，重復出現的數是同一個元素。數列可以視為特殊的可列無窮數集，每個數都有確定的編號，有確定的順序，因此，不同位置上的數是不同的元素。故不同的元素，值可以是相等的。 即靠位置（編號）確定元素。而不是靠大小。因而，有一個數允許在同一數列中重復出現,而不能看成一個元素。如，常數列:c,c,c.，記為 x, 其中x=c。而數列為：1，1，1，1，二、數列極限1、極限的定義那么，我們引入數列之后，很自然的一個問題是，對數列，我們更關心的問題是什么？即要研究數列的什么內容。從數列產生的背景和現實應用來看，最關心的是數列最終的逼近結果即數列最終的趨向值，這個量就是我們將要引入的極限的概念。那么，一個數列的趨勢是什么？能否控制？先看下述幾個數列：: 顯然0: 趨勢確定、可控。n: 趨勢明確，但不確定，不可控, 因為不是確定的數。(-1): 就整個數列來講，沒有明確的趨勢，是跳躍性的，不可控。從上述數列中可知，有些數列趨勢明確，且趨勢可以控制，有些數列雖有明確的趨勢，但是趨勢不可控，還有些數列，變化趨勢不明確，更談不上趨勢的可控性。顯然，第一種是“好數列”，是我們將要研究的主要對象。也為了便于數學上的研究，我們用極限來表示這種趨勢。那么，如何用數學語言嚴格刻劃極限？從上述幾個例子可以初步了解到，極限就是數列充分接近的值，如何反映兩個數值間的接近程度？可以用誤差來表示，如和，表明b比a更接近于1，但是，作為數列的極限，應是無限的接近，誤差要多小就有多小，這就涉及到用一個什么量把這個任意小的誤差表示出來，這個量就是，借助這個量，就可以給出數列極限的嚴格的數學定義。定義1.3 :設 x是一給定數列，a是給定的實數，如果對>0, NN,使n>N時，都成立 <稱數列 x收斂，a稱為 x的極限，也稱 x收斂于a.。記為x=a. 或 xa， (n)。注、從定義看出，數列的極限就是數列充分接近的量，從而，用來揭示出了數列的變化發(fā)展趨勢，即數列x充分接近并趨向于a；而就是用來表明接近程度的、說明誤差的量，是一個要多小就有多小的充分小的量。注、極限的幾何意義：第N項以后，數列 x的所有點落在鄰域(a-,a+)內，即xa等價于>0, NN,使n>N時, xO(a,)。注、定義中的幾個量： 的雙重性：既是任意的，也是確定的；即，在給定前它使任意的，可以任意取值，但是，一旦給定，它是一個確定的數。N：是由數列本身和其極限及給定的確定的一個量，不唯一且與有關，特別注意它與的順序與關系：先給定，才能確定N，事實上，N是由通過求解一個與上述所說的量有關的不等式所得到的。注、由的任意性，定義中的表達式<也可以寫為 <M其中M為常數。 同樣的道理，上式中的“<”也可以換為“”。注、數列的收斂性與數列的前面有限項無關，這也反映了數列最重要的是“趨勢”的特性。 2、幾個簡單的例子先看兩個簡單的例子。例1、證明：q=0. (0<<1)。證明：對>0, 取N+1，則n>N時, 故 ，q=0.。例2 、 證明 =0,其中a>0.證明：對>0, 取N= +1，則n>N時， <<故，=0. 從上述兩個例子可以總結出，這類極限的證明過程可以分為兩步：第一步、給定一個 >0; 第二步、 尋找或確定N>0, 使得 n>N時, <.可以看出，證明過程嚴格遵循了極限的定義，而關鍵的點是N的確定。那么，如何確定N？我們以例1為例，分析N的確定方法：例1分析：對>0,要使n>N時，= <，分析上式成立關于n的條件；事實上，由于<1，則關于n單調遞減，故n>N時, ，因此,要使|q| <,只須，只須N ln ln ，注 意到ln<0, ln<0，只須取N+1，這就確定了N。上面的分析中，蘊藏了確定N的一個基本方法放大法，步驟如下：1、 對放大處理，即 其中：G（n）滿足原則： i)、G(n) 盡可能簡單,以便求解G(N)<；ii)、G(n) 應是單調遞減且趨于0的數列，因而，成立n>N時，G(N)。2、 求解G(N)<，可得N，可能有多個解，取出一個N即可。由極限定義，利用上述方法證明極限，被稱為放大法。主要步驟是放大過程，放大的目的是為了求解N的簡單和方便。再看幾個例子。例3 證明：=分析：去掉絕對值號，則= (n>2)=< (n>2) 當n>N時，<.故要使<,只須<, 只須N>.， 取N=+1。證明：對>0, 取N=+1，則當n>N時<<<, .故，=。例4 證明：=0分析：先去掉絕對值號，顯然，n>3時，=，要使上式盡可能地簡單，在放大過程中，必須使分子和分母同時達到最簡只保留最關鍵的、起最重要作用的一項n的最高次冪項。達到這一目的的方法也很簡單：用最高次冪項控制其余項。如本題：分子要保留最高次冪項，必須去掉常數項10000，或用最高次冪來控制此常數，顯然要使10000n, 只需n>100, 此時可得n+100002n達到分子最簡且保留主項的目的。同樣，對分母，要使分子達到上述要求，注意到分母在整個分式放大過程中的作用方式，我們必須以縮小的方式處理分母，以保證整個分式是放大的，為此，我們采用分項的方式來處理：即從最高的主項中分離出一部分用以控制其余項，如從分出一半，（可用任意的a:0<a<1代替）即nnn n+nnn由于n>4時，nnn>0，因而，此時 nnn n+nnnn達到了使分母最簡的目的。故，當n>max100, 4=100時，條件10000n和n-n-n>0同時成立，分子和分母同時達到最簡，此時=, 因而，n>N時,<故，要使<,只須<, 只須N>。 故，要使上述過程同時成立，條件必須同時得到滿足，即N必須同時滿足N>100和 N>，為此，取N=+100即可。證明：對任意的，取N=+100，則當n>N時=<<故，=0。注：上述分析過程說明了如何產生N,初學者嚴格遵守上述過程,逐漸熟悉N的尋找方法，并熟悉和掌握一些技巧。例5 設a>1，證明：=1.分析：|1|=1>0, 要使n>N時，0<1<，只需1<，只需 <1，只需。證法一：對任意的>0，取，則當n>N時0<-1<-1<故，=1. 法一是常規(guī)的證明方法，當掌握了各種工具之后，可以用各種手段和方式用于極限問題的討論?？聪率鼋夥?。證法二：二項式估計方法。 為估計1，化簡此項。令=1+，>0. 只須估計。利用二項式展開定理：a=(1+)=1+C+C+故，<因而，n>N時，0 < -1 = < < 故，對任意的>0, 取 N > ，則，當 n>N時0 < -1 = < < 因而，=1。注、二項式展開方法是處理這類極限的一個有效方法，要牢固掌握，熟練應用，關鍵點是選擇展開式中適當的項，再看下面的例子，分析選擇展開項的思想。 例 證明n=1證明:令n=1+y，則n = (1+y) 1+ n y+ y+ y >y故， 0< n1 = y<.因而，對>0，取，則當n>N時，0< n1 = y<<故，因而，n=1。注、利用二項式定理時，應根據需要合理選擇右端的項。原則是：所選擇項中關于n的冪次高于左端。更復雜的例子：通過數列間的關系來證明極限問題。這類問題解決的思路是通過分析已知條件和要證明結論之間的形式，通過形式上的統(tǒng)一，建立已知和未知之間的橋梁，或用已知來控制未知。例7 設x0, 若x=a0, 則=.分析：已知條件是（定性條件）x=a，等價于已知n充分大時的關系式（轉化為定量關系） 要證明的結論是=，等價的類似關系式為 因此，要完成本題的證明，實質就是建立已知項中和未知量的聯系，或用已知的來控制。那么，如何達到上述目的？即如何把未知的要控制的量轉化為已知的量或用已知的量來控制？也即如何去掉量中的根號？顯然，有理化正是解決這類問題的一個有效方法。事實上，通過有理化得到 這個表達式中，已經出現了已知量，建立了已知和未知的聯系，下一步甩掉無關的、不確定的項，即就是控制分母，尋找它的一個確定的已知的正下界。顯然，當a>0時，問題得到解決。那么，當a=0時怎么解決？事實上，此時問題更加簡單，因為此時已知和未知的聯系更加容易建立，只是處理過程中需要一個技巧。通過上述分析，證明分兩種情況來處理。證明：當a=0時，由于0， 則由定義，對任意的，存在N，使得當n>N時， 因而，此時 故，。 當a>0時，由于a， 則由定義，對任意的，存在N，使得當n>N時， 因而，當n>N時 故，。 注、上述分析過程說明了我們的證明為何分兩步進行。但是，從方法論角度看，這也是科學的處理方法。我們知道，解決問題的一般方法就是從簡單到復雜，從特殊到一般的求解思路，上述分兩步的求解方法正是這種思想的體現。在后面的學習過程中，我們會經常用到這種解題思想。注、注意理解和體會上述解題過程中，為何要用代替。這是技巧問題。注、解題過程實際就是在正確思想方法的指導下，充分利用掌握的理論知識和技巧解決問題，因此，我們即要掌握基本的理論知識，還必須掌握方法，同時還必須掌握一定的技巧。3、發(fā)散數列與收斂數列相對應的數列是發(fā)散數列，為引入數列的發(fā)散定義，先給出如下定義。定義1.5 若對實數a，存在，使得對任意的N，存在，使得 >則稱x不收斂于a。注：不收斂于，不能寫為（存在但不等于）。 差別：的極限可能不存在注、定義1.3和定義1.5是一對肯定與否定的定義，這樣一對的定義式中，通?？梢酝ㄟ^將“對任意的”改為“存在一個”，將“存在一個”改為“對任意的”，同時否定相應的結論關系式而實現相互之間的轉化。定義1.6 若對任意的實數a，x都不收斂于a，稱x發(fā)散或不收斂。注、由定義，發(fā)散數列包含了兩種情況，其一沒有明確的變化趨勢，其二，變化趨勢明確但是不可控，相對來說，在研究數列的變化趨勢方面，第二種情況相對比第一種情況好，為此，我們將其單獨分離出來，給出下列定義。定義1.7 給定數列， :若，使時，使得1、,稱是無窮大量；2、，稱是正無窮大量；3、,:稱是負無窮大量。對無窮大量x，有時也借用極限符號記為或x，對正負無窮大量也有同樣的記號。 注、通過上述定義，數列可以分為1）、收斂數列：“好數列“，變化趨勢確定、可控。2）、發(fā)散數列，又可以分為：i）、趨于或發(fā)散到 ：有趨勢但不可控；ii）、沒有趨勢，如。顯然，“好和較好“的數列是我們研究的主要對象。證明數列為無窮大量的方法和放大法思想類似，是相應的縮小方法。例8 證明為無窮大量。證明：對任意M，取N ，則當n>N時， 故，為無窮大量。 與無窮大量相對應，還可以引入無窮小量。定義1.8 若數列數列x滿足：x0，稱x為無窮小量。關于無窮大量和無窮小量的關系將在學過極限性質后進行研究。習題11、觀察下列數列，給出其通項，并觀察其變化趨勢。 1）、 2）、1，4，9， 16，2、用定義證明下列極限。 1） 2）、 3）、 4）、 5）、 6)、7）、，其中，k1，2，3，8）、，其中a>1。9）、10）、3、設，證明；反之成立嗎？為什么？4、設，證明：對任意整整數正整數k，。5、給定數列，和分別稱為其奇子數列和偶子數列，證明：若，則；反之成立嗎？為什么?6、利用不等式 其中，證明a>1時。 數列極限的性質及運算本節(jié)介紹數列極限的性質及運算。一、 性質、 唯一性定理2.1 收斂數列的極限必唯一。證明：設且還有。由定義，對>0,存在N，使得n>N時，成立 故， 由的任意性得 a=b，故極限唯一。注：本定理證明的方法是插項方法，利用插項建立兩個或多個量的聯系，或建立已知和未知的聯系，是常用的方法。、有界性定義1 若，使，則稱為有界數列。 注、也可用上界、下界定義數列的有界性。定理2.2 收斂數列必有界。分析：由有界性的定義，要證明收斂數列有界，只需確定M，使得；因此，如何從收斂性的條件中，尋求與有界性類似的條件是證明的關鍵。故，證明的思路就是從收斂性出發(fā)，尋找與有界性類似的條件。證明：設，則， 由定義，對1，存在N>0，使得 n>N時 若取，則 故 ,數列有界。注、通過取特定的得到數列的一些性質是常用的技巧。注、其逆不成立。如(-1).注、有界性的界是對數列的一個粗略的估計或控制，收斂數列的有界性從一個方面反映了收斂數列的可控性。3、保序性定理2.3 設收斂， ，若，則 ，使時，。分析：由條件可得由此可知，可以通過取特定的的值如，建立二者的聯系。證明：對，由定義，存在N，使得n>N時 代入，得。推論2.1若，則，使時，.證明：由于，故，（見課本習題），取，則，由定理2.3既得。注、推理2.1給出了數列的一個嚴格正的下界的估計，這是一個很好的結論，在對數列做估計如放大和縮小時非常有用。定理2.3給出了數列保持了極限的次序，保序性還有另一種表現形式，即極限也基本保持數列的次序。推論2.2 若，且,則。注 、推論2.2表明定理2.3的逆部分成立，如：, ，則，但是，。4、兩邊夾（夾逼）性質定理2.4若, 滿足：,且 則 .分析：由定量的條件出發(fā)，尋找關系式。證明：由于則對任意的>0，存在N，使得n>N時， 故， 因而 。注：定理2.4的作用：考察某數列的極限，可將其適當放大和縮小，使放大和縮小后的兩個數列有共同的極限，因而，可以用來研究數列的極限。例1 證明。其中分析：通過要證明的結論形式可知，證明的關鍵（思想）是如何從左端待求極限的數列表達式中將右端的項分離出來，具體的分離過程實際很簡單。證明：由于(p)=由定理2.4即可。例2 設，證明：=0分析：數列的結構特點是，兩個結構相同的因子的差，處理方法是：提出共同的部分，考慮剩下的量。證明：由于 0<= 由定理2.4，結論成立。 注、上述的例子都用到了以前的結論，因此，應該記住一些常用的結論。二、 極限的四則運算定理2.5 設，則1）、2）、3）(b)分析：已知的量為 ，因此，定理證明的思想就是如何從要控制的量中分離出上述的已知量。證明：由定義，則對任意的>0,存在N，使得n>N時， 因而，當n>N時 1）、則 . 故2）、由于數列收斂，因而有界，設其界為M，則故 。3）、由保序性，不妨設，故<故 注、定理的證明用到了基本的插項方法，利用這一方法，從未知量中分離出已知項是常用的技巧，要熟練掌握。利用運算法則，簡化極限的運算。（掌握最基本的極限結論）例3 求。分析：顯然，不能直接用運算法則，分析結構，表達式中各項都具形式，那么，對這樣的形式，已知的結論有那些？顯然，已知），因此，證明的思路就是如何將結構中的各項轉化為已知的形式。解、原式。例4 證明 , 。分析：已知相關的結論是a>1時結論成立（見第一節(jié)例5），因此，證明的思路是如何進行形式上的轉化。證明：令，則。例5 。分析：數列的結構為n的冪次結構，此結構中已知的結論是：，其中a>0。因此，處理的方法是，對其進行化簡或轉化為已知極限的結構形式，注意到結構中含有兩根式相減，分子有理化是常用的一個方法。解、原式。注、上式用到結論：若，則。例6 計算 。分析：從結構看，應轉化為已知的結論形式。轉化方法是用最高次冪同除分子和分母。解、原式 注：由此說明，當n充分大時，n的多項式的符號由首項系數決定。事實上，而 .由極限的保號性性質可知，多項式與同號。注：數列極限的四則運算只能推廣至有限個數列的情況，而不能隨意推廣到無限個或不定個數的數列運算上，如：例7 證明 ：()=1。證明：由于 利用兩邊夾定理即可。下面的證明方法是錯誤的：() 00 00。三、無窮大量和無窮小量的性質及其關系 利用極限的運算法則，很容易得到如下結果。定理2.6 若收斂于同一極限，則為無窮小量。特別，若收斂于a，則為無窮小量。定理2.7若都是無窮小量，則也是無窮小量。定理2.8 設無窮小量，而 有界，則是無窮小量；特別，若和都是無窮小量，則是無窮小量。對無窮大量，成立類似的結論。定理2.9若都是正（負）無窮大量，則也是正（負）無窮大量。定理2.10 設無窮大量，而 ，則是無窮大量。特別，當是無窮大量時，則是無窮大量。對無窮大量和無窮小量，關于極限的運算法則，不能推廣到除法運算。如 = 其中k>0 , l>0,。即，若和都是無窮大量，不一定是無窮大量；同樣，若和都是無窮小量，也不一定是無窮小量。 無窮大量和無窮小量的關系體現在下面的定理中。定理2.11 設，若是無窮大（小）量，則是無窮小（大）量。例8 計算 。解、由于 故， ，因而，原式。習題21、計算下列極限1）、 2）、3）、 4）、5）、6）、2、證明下列極限 1）、 2）、 3）、 4）、更進一步，由于各數列中的分子和分母都是無窮大量，上述結論說明了什么？3、用極限的性質證明 1）、 2）、4、設 證明：1）、若，則；2）、若，則；3）、若，則。 Stolz-定理 在2中，我們研究了無窮大量及其運算法則，而對一類重要而特殊的運算除法運算，無窮大量情況就更加復雜，即當時，的極限不確定，把這類極限稱為待定型極限。本節(jié)，我們討論這類極限問題。定義3.1 :若數列滿足 稱其為單調遞增數列。若滿足, 稱其為嚴格單增數列。注、類似可以定義數列的單調遞減性。定理3.1 （Stolz定理）設是單調增加的正無窮大量，且（a可為有限、或），則。分析：定理的證明較為復雜，我們用從簡單到復雜，從特殊到一般的方法證明此定理。不失一般性，可設>0。i、先考慮簡單情形：a=0。此時條件為,轉化為數列關系為：對任意，存在N，使得< 這是相鄰兩項差的估計。.利用插項思想，由相鄰兩項差的估計可得到任兩項差的估計，因而，對任意的n>m，利用單調遞增性，得 =因而，再分析要研究的數列，建立與上述已知形式的聯系，得= =因而， 為估計右端第二項，取確定，只須下標確定，如取然后利用即可。Ii、且為有限數。轉化為情形i。記（注意到情形i對無任何要求），則由情形i的結論: ,即Iii、, 能否轉化為情形i或情形ii。注意到：=0 即，則只須說明單調遞增到。事實上， 單調遞增且 ，因而，故，趨向，對用情形i的結論即可。Iv、a時，令即可。證明過程是將上述思想數學化。證明：不失一般性，可設>0。情形1、設a0。由于 0，則對任意，存在，使得n>時 即 <， 。 因而， =故，當n>時 = =因而， 又，故，存在，當n>時， 取，則時 故，。情形2、a有限且不為0。記，則由a，得 因而，由情形1的結論 即。情形3、a。此時，故，對M>1，存在N，使得n>N時 因而， 因此，n>M時，單調遞增，進一步，還有 即 ，故，為單調遞增的正無窮大量。由于，因而，利用情形1的結論得， ，故，。情形4、a。令即可。 至此，定理得證。注、注意定理成立條件為：存在。注、定理的逆不成立：即若，不一定有，因為不一定存在。若存在，必成立。 注、當，結論不一定成立。注、總結證明過程中的思想和技巧。作為應用，考察下面的例子。例1 設，求解：記， , 用Stolz定理得 。注、在具體應用Stolze定理計算題目，不必驗證條件的存在性，只需直接進行計算，看能否計算出結果。 例2 設，, 證明：分析：為利用定理，需轉化為定理的形式，即所求極限的數列應該是分式形式，因此，須將其轉化為分式形式，且分母還應該是單調遞增的正無窮大量，那么，從所給的形式及其所含的因子中，是否有這樣的量，是否能分離出來作為分母？解決了這些問題，就找到了證明方法。證明：記, 則 為正的無窮大量，且 利用 Stolz-定理即得。注、與型相對應，還成立 型Stolz定理， 我們略去證明。定理3.2 設, 單調遞減收斂于0，若，則，其中可為有限、或。例3、 設，若，證明：。分析：引入形式統(tǒng)一方法。證明：由于=()+. 只須證第一項極限為。事實上，令，=，則,因而。而=() = ，由Stolz定理 ()=故，。習題31、證明下列極限。 1）、0； 2）、，其中 a>1,k為正整數； （提示：用數學歸納法和Stolz定理。進一步，k為正實數都成立） 3）、；4）、；（提示：后面兩道題用極限性質證明）進一步的分析：對正無窮大量，如果用速度的大小表示其趨向正無窮的快慢，通過上述例子，可以得到上述涉及到的數列的速度有何關系？2、計算3、設，證明。4、設且，利用對數變換和Stolz定理證明： 5、設，為單調遞增的正無窮大量，作變換，利用Stolz定理，證明： 。分析為何要做上述變換。、收斂準則及實數基本定理為了研究更復雜的數列收斂性，僅有定義和運算法則還遠遠不夠，必須有更高級的手段和方法研究數列的收斂性問題，本節(jié)，我們給出一系列判別準則，用于通過數列自身結構特點，研究數列的收斂性問題，同時，給出實數系的基本定理。為此，我們先證明關于確界的一個結論。 一、確界的性質給定有界實數集合E。定理4.1 設，則存在點列，使得 ，。分析 要證明結論，必須構造兩個點列，我們知道任意性條件是構造點列的一種前提條件，因此，我們從確界定義中的任意性條件出發(fā)構造滿足要求的點列。證明：只對上確界證明。由于，由定義，則1）、對任意，都有；2）、對任意，使得。故，取，使得；取，使得；如此下去，對任意的正整數n，取，使得，因此，由此構造的數列，滿足。證畢。 我們在第一章已經說明，我們是以確界存在定理為實數系公理，或作為本教材關于實數系性質的出發(fā)點，因此，下面我們以此為基礎推出一系列重要結論。二、單調有界收斂定理。定理4.2 單調有界數列必定收斂。分析：到目前為止，能說明數列收斂的，只有定義。要用定義，必須知道極限是什么，再證明之。故，關鍵問題是由條件能確定出什么樣的數，可能成為唯一的極限。我們進一步分析，由數列的單調有界性能否確定唯一的一個數？事實上，由確界存在定理知：1、單增有上界的數列存在唯一的上確界；2、單減有下界的數列存在唯一的下確界。這樣，通過數列的單調有界性，能夠確定唯一的一個量確界，因此，接下來考慮的問題就是：確界是否就是數列的極限，這就為定理的證明，提供了的思路。證明：不妨設是單調遞增的數列，則，由確界存在定理，有唯一的上確界，記為a。由確界定義，則 1）、，；2）、對任意的，存在元素，使得 由數列的單調遞增條件，當時 即， ；因而，。注、此定理給出了第一個預先不知道極限的情況下（與定義的區(qū)別），通過數列自身的結構判別其收斂性的結論。注、由證明過程可知，若單調遞增收斂于，則必有。同樣，若單調遞減收斂于，則必有。下面，通過例子說明此定理的運用。例 設，記，構造，證明：收斂，并計算。證明：通過觀察可得， .因而，單調遞增。再證有界性：由單調遞增性質，可知 由結構條件得故， ，因而，有界。由定理1，收斂。設=b（由收斂性得證），則由利用極限的運算性質得 ，求解并舍去負根解得。從解題過程中，總結這類題目的處理思想：首先， 分析、觀察題目，可知題型的結構特點為：給出了數列構造，即給出數列的初始項和構造規(guī)則，由此構造出整個數列；題目要求是：證明數列的收斂性并計算極限。利用數列自身構造特點證明收斂性的方法有多種，但是，既要判斷收斂性，又要計算極限的，單調有界收斂定理是首選，換句話說，這是單調有界收斂定理所處理對象的顯著特點。其次，解決問題。利用單調有界收斂定理時，必須解決兩個問題：1、單調性如何研究數列的單調性？首先，要明確研究方向，因為單調性有兩種：單調遞增和單調遞減，因此，要證明單調性，必須先明確是證明單調遞增，還是證明單調遞減。那么，如何明確研究方向？我們引入一種被稱為預判的方法“預判法”：即通過前幾項的具體的計算和比較，初步分析并確定單調性，然后再證明預判的結果。其次，在“預判”基礎上的嚴格證明。通過第一步的預判，明確了證明的方向，接下來的工作自然是嚴格證明預判的結果。證明的具體方法也有多種，常見的有：1）、觀察法直接通過觀察數列的結構給出單調性的證明；2）、差值法考察任意相鄰兩項的差，通過差的符號得到單調性，即若對任意n，則單調遞增；否則，數列單調遞減。3）、比值法通過考察相鄰兩項的比值得到單調性結論，即若對任意的n，非負數列滿足：，則數列單調遞增，否則，收斂單調遞減。這樣，基本上解決了單調性問題。2、有界性預判法也是研究有界性的一個有效方法，即借助于預判的單調性和極限首先預判出要證明的界是什么，然后再嚴格證明之。對這類題目，由于知道了數列的結構，因此，假設數列收斂，則可以通過數列結構計算極限，因此，若數列單調遞增，則此極限值應該是一個上界；若數列單調遞減，則此極限值應該是其下界。這樣就確定了數列的界，明確了證明的界的方向，因此，剩下的工作就是證明極限就是數列的上界或下界即可。證明的方法通常有歸納法和估計方法，相對來說，估計方法是利用一些不等式進行放大或縮小，要求技巧性強。有些例子需用有界性證明單調性，有些例子需要用單調性證明有界性。例 設，計算。分析 與例1結構相同，用相同的處理方法。預判、1、計算前3項，發(fā)現因而，預判單調性為單調遞增。2、設a，則必有，得a3，因此，預判數列有上界3。因此，證明過程就是驗證預判的結果，至于先驗證有界性還是先驗證單調性，必須具體問題具體分析，有時候，證明單調性要用到有界性，則此時應先證明有界性，如例2，有時候，證明有界性要用到單調性，此時應先證明單調性，如例1，無論如何，預判方法給出了明確的證明方向，是處理這類問題的有效方法。解：、有界性由于，設，則故，歸納證明了 , 。、單調性由于，故，單調增加。、由1，2知: 存在，不妨設=a, 則，解得a=3。注：單調性的驗證也可用下述方法 得到單調增加性質。再利用單調有界定理證明一個重要的極限。先給出一個已知的結論：平均不等式：對任意個整數，成立 即：算術平均 幾何平均 調和平均。等號當且僅當時成立。例 證明,都收斂。分析：記=，.則： 預判： 單調遞增, 單調遞減。 又，數列有界。故，只須證數列的單調性。證明：記=，=，則，利用平均不等式：=1，類似， =故，單調遞增, 單調遞減 。 又由于因而，、 有界，,故, 都收斂。進一步分析二者的極限關系由于 =因而， ，記這個共同的極限為e，即=e, e=2.7182818這就是自然對數的底。且由證明過程可知：單調遞增收斂于,單調遞減收斂于，因而成立<e<取對數得 故,這是一個重要的關系式。利用這個關系式給出一個重要結論。例4 若記，證明收斂。證明：由上述關系式得，故故 單調遞減。為證明有界性，利用，則 =故有界，因而收斂。記=0.57721566490 ，稱為 Euler常數。注、由此例我們不僅得到 ，而且還掌握了其趨于正無窮的速度和lnn趨于無窮的速度是同階的。 例5 記，證明。證明：由于=故， 。 單調有界收斂定理的條件較強，那么，定理4.2中的條件是否減弱，減弱后結果會發(fā)生怎么樣的變化？為了解決這個問題，我們引入實數系的一個定理。三、閉區(qū)間套定理。定義4.1 若區(qū)間列滿足:1) ; 2) 則稱為一個閉區(qū)間套。 定理4.3 假設為一個閉區(qū)間套，則存在唯一的，使, ，且. 分析 要證明數列和數列的收斂性，因此，從條件中挖掘關于這兩個數列的信息，由此得到證明的思路。證明：由于為區(qū)間套，則即單調遞增，單調遞減且都有界，因而由單調有界收斂準則得，收斂。設，則,由數列的單調性，顯然有：由極限的唯一性可得的唯一性。注、由定義知道：所謂閉區(qū)間套是以閉區(qū)間序列為形式，用兩個端點列刻劃所滿足的條件，閉區(qū)間套的性質是通過兩個端點列反映出來，因此，在用閉區(qū)間套定理時，閉區(qū)間套定理的作用就是通過閉區(qū)間套，將某一個大范圍里如區(qū)間上成立的性質，通過構造閉區(qū)間套，使得這個性質在每個閉區(qū)間上都成立，進而使其在被套住的“點”區(qū)間端點的極限點的附近也成立此性質。這就是此定理的本質。注：若將閉區(qū)間套改為開區(qū)間套，仍有,但不一定有，如取，則。有了閉區(qū)間套定理，我們研究單調收斂定理的條件是否能減弱的問題，給出關于數列收斂性的又一重要的定理。四、Weierstrass定理 先引入子列的概念。定義4.2 設是一個數列，而是一個嚴格單調增加的自然數列，則,也形成一個數列，稱為 的子列，記為。簡單地說，子列就是從原數列中，按原順序挑出一系列元素而形成的數列。兩個重要而特殊的子列是奇子列 和偶子列 。注、數列與子列的下標關系：; 下面考察數列及其子列收斂性的關系。首先注意到，數列收斂和子列收斂的差別：我們知道若收斂于a，是指對任意，存在，當時， 而收斂于a，是指對任意，存在，當時， 。因此，收斂，意指存在a，對N以后的項，都落在內，或者外至多有數列的有限項；而有子列收斂意指，存在a，原數列中，有無窮多項落在內，此時，外也可能有數列的無窮多項。這是數列收斂和子列收斂的差別。那么，它們又相互聯系，因而，收斂性也應該有一定的關系。定理4.4 設收斂于，則其任何子列 也收斂于a。證明：由于，則對，,使n>N， .取，當時，,故，因而，也收斂于a。注：定理3 的逆也成立。定理4.5 如果的所有子列都來收斂于同一個極限，則必有分析：由條件的任意性，通常用反證法：構造一個子列不收斂于證明：若不收斂于，則，使對,有。因而，取，得 使；取，得 使；如此下去，對任意的正整數k，取，得 使；由此，構造了點列不收斂于，矛盾。注、過程中的構造子列的方法要掌握。定理4.5的作用常用來證明數列極限的不存在性。定理4.6 若存在的兩個子列、，分別收斂于不同的極限，則必發(fā)散。注：常用定理5說明數列的發(fā)散。例6 證明和都不收斂，由此，說明和都不存在。證明：記，。則，由于，因而，不收斂。類似，由于，因而，不收斂。進而，由Heine定理，和都不存在。 現在，我們回答前面提出的問題。定理4.7 ( Weierstrass定理) 有界數列必有收斂子列。分析 我們知道，要證明一個數列或子列收斂，目前的方法有定義法和定理法用單調有界收斂定理，定義法需要知道極限值，而定理法的條件也很強，特別是對本定理，因此，從精確處理子列的收斂性來看，可質利用的條件或信息很少，我們退一步考慮問題，因為我們知道，粗略地講，所謂子列收斂，是指在某一點的任意鄰域內有該數列的無窮多項，顯然，這樣的要求比定義法和定理法證明子列的收斂性要弱，更容易滿足或解決。因此，我們先解決低層次的結論。從這一點來看，是要證明某一點附近的性質，由我們目前所掌握的工具，閉區(qū)間套定理能滿足這樣的要求。因此，可以考慮用閉區(qū)間套定理來證明，這就要求一要構造出閉區(qū)間套，二要使每個閉區(qū)間滿足要求含有數列的無窮多項，這是構造閉區(qū)間套的原則，因而，要根據這個原則構造閉區(qū)間套。構造閉區(qū)間套的方法常用的有等分法，即先構造滿足要求的一個閉區(qū)間，對這個區(qū)間進行不同形式的等分，如二等分、三等分等，從中選擇一個滿足要求的區(qū)間，然后再等分，再選擇，如此下去，可以構造出閉區(qū)間套，從而將一個泛泛成立的大性質“套”在某一點的附近成立。將上述分析總結一下：一是要用閉區(qū)間套證明此定理；二是要用等分法構造閉區(qū)間套，使得應滿足含有數列中無窮多項。我們先構造大區(qū)間，從所給的條件很容易做到這一點。證明：由于有界，則存在，使，二等分，則,必然有一個含的無窮多項，記為，二等分，則必有一個含無窮多項，記為，如此下去，構造閉區(qū)間列， 滿足條件1) 是閉區(qū)間套;2) 都含有中無窮多項。由閉區(qū)間套定理，存在唯一的點,使。下面證明，正是某個子列的極限，這就需要構造出子列來，注意到點的性質：單調遞增、單調遞減收斂于，且，可以設想，構造的子列只需滿足，即從區(qū)間套的每個區(qū)間中取點即可。即在 中任取一項，由閉區(qū)間套構造的性質，在中，總含有之后的無窮多項，從中取出一項記為，使，如此下去，可構造子列 且故。注、從證明中可看出，收斂子列不唯一。這個性質也可以用聚點的概念來刻劃。給定數列和實數a，若對任意的，中都含有的點，則稱a為數列的聚點。因此，Weierstrass定理表明，有界點列必有聚點，但聚點不唯一。注、從證明過程中可以總結出解決問題的又一思路：即當嚴格或精確地解決問題較困難時，可以將問題的解決分層次進行，先解決低層次或粗略的結論，然后將結論進一步精確化。注、構造閉區(qū)間套的方法如二等分方法，以后還有三等分法等，同時還有掌握構造閉區(qū)間套的原則。注、W定理又稱緊性定理或致密性定理，是現代分析學中非常重要的結論。當有界條件去掉時，有較弱的結論。定理4.8 若無界，則存在子列 ，使。證明：無界，則使，因而，取，存在，使得；取，存在，使得；如此下去，對任意正整數k，取，存在，使得；顯然，由此構造的子列，滿足。 例7 若無界，但不是無窮大量，證明必存在兩個子列和，使得是無窮大量，而收斂。證明：由定理4.8，存在子列，使得。下面，構造第二個子列。由于不是無窮大量，因而，存在M>0，對任意的N，都存在，使得 ，因此，取，存在，使得；取，存在，使得；如此下去，對任意正整數k，取，存在，使得；因而，存在子列，滿足有界，由Weierstrass定理，存在子列，也是原數列的子列，使得收斂。五、Cauchy 收斂定理。我們繼續(xù)研究數列的收斂性，給出數列收斂性的判別準則。我們已經掌握的收斂準則，只有單調有界收斂定理。但此定理只給出數列的充分條件。事實上，更多的收斂數列并非單調，因此，這個定理雖好，但是，使用范圍受限，因此，尋找判別數列收斂的充分必要條件非常有意義。Cauchy收斂定理，也稱Cauchy判別準則就是一個判別數列收斂的充分必要條件。先引入一個基本概念。定義4.3 若 滿足： 當時，成立 稱為基本列。注、定義中給出了基本列的結構特征。引理4.1 設 為基本列，若有一子列收斂，則收斂。證明：由于為基本列，故 當時，成立 又，收斂，因而， 當時，成立 取，則當時， 故，收斂。 注、引理表明，對基本列而言，數列收斂性等價于子列收斂，這是一個很好的結論，也表明基本列是一類很好的數列。事實上，基本列就是收斂數列。定理4.8 （Cauchy收斂定理）：收斂等價于是基本列。證明：假設，則對 使時，故 時，因而，是基本列。反之，假設是基本列。