高等數(shù)學(xué)：第二節(jié) 數(shù)列的極限

1/31第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、引例二、數(shù)列的概念三、數(shù)列極限的概念四、收斂數(shù)列的性質(zhì)五、小結(jié)、作業(yè)、思考題2/31一、引例一、引例 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 極限的思想源遠(yuǎn)流長極限的思想源遠(yuǎn)流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”. 中寫道中寫道:劉徽劉徽(三世紀(jì)三世紀(jì))的的“割圓術(shù)割圓術(shù)”中說中說: “割之彌細(xì)割之彌細(xì),所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”3/31正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR4/31定義定義 數(shù)列乃按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)數(shù)列乃按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)12,nu uu簡記為簡記為nnuu其其中中稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的通項通項(generalterm),或者或者一般項一般項.,nu二、數(shù)列二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念的概念;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 如如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n5/31onxn 1 2 3 4可看作一動點在數(shù)軸上依次取可看作一動點在數(shù)軸上依次取12,.nu uu1u2u3u4unu數(shù)列的幾何表示法數(shù)列的幾何表示法:(2)數(shù)列也可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列也可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)的函數(shù): )(nfxn 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)或或下標(biāo)函數(shù)下標(biāo)函數(shù)(1)數(shù)列對應(yīng)著數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)軸上一個點列.6/31三、數(shù)列極限三、數(shù)列極限的概念的概念.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問題問題當(dāng)當(dāng) 無限增大無限增大時時, 是否是否無限接近無限接近于某一于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?unn如果是如果是,當(dāng)當(dāng)n無限增大無限增大時時, nu無限接近無限接近于于1.該值為多少該值為多少?7/31如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它?1nu 1)1)1(1(1 nn1nu 可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1nu “無限接近無限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么程度小到什么程度.當(dāng)當(dāng)n無限增大無限增大時時, 無限接近無限接近于于1.nu8/31,1001給定給定11100,n 要要使使,100時時只要只要 n11,100nu 有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n11,10000nu 有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n11,1000nu 有有0, 任任給給,)1(時時只要只要 Nn1.nu 有有成成立立1|1|nun衡量尺度衡量尺度9/31,nuaNnN 設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列及及定定值值 . .如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù), ,使使得得當(dāng)當(dāng)時時, ,不不等等式式nua nnua 恒恒成成立立, ,則則稱稱當(dāng)當(dāng)時時, ,數(shù)數(shù)列列的的極極限限為為 , ,lim.nnnuanua 或或 當(dāng)當(dāng)時時，定義定義nua或或稱稱數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于 , ,記記作作,.nu如如果果數(shù)數(shù)列列沒沒有有極極限限 稱稱之之為為發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)列列10/31,有有關(guān)關(guān)與與給給定定的的 N注注一般地說一般地說,(1)(2)0:,;nnuaxa 任任意意給給定定之之重重要要性性 唯唯有有此此不不等等式式方方能能表表達(dá)達(dá)與與 的的無無限限接接近近,;N 越越小小將將越越大大.nua 有有,時時當(dāng)當(dāng)Nn , 0 , 0 NN 定義定義邏輯符號邏輯符號limnnua 簡簡寫寫的的定定義義(3),|.nNnNua 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù), ,使使得得當(dāng)當(dāng)時時, ,不不等等式式| |成成立立11/31x1u2u2uN 1uN 3u數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義 2 a aa,時時當(dāng)當(dāng)Nn .)(落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個Nauan )(Nn ( ,)uU an uan 即即)(Nn (,),nuaa所所有有的的點點都都落落在在內(nèi)內(nèi)因此因此,一個數(shù)列是否有極限一個數(shù)列是否有極限,“前面前面” 的有限項的有限項不起作用，關(guān)鍵是看不起作用，關(guān)鍵是看“后面后面”無窮多項的變化無窮多項的變化趨勢！趨勢?。▌討B(tài)觀點）（動態(tài)觀點）12/31數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證證1 nu1)1(1 nnnn1 , 0 任任給給,1 nu要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,nN 則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有1( 1)1nnn 1( 1)lim1.nnnn 注意：注意：(1)(2)(3)(4)給出度量給出度量考察接近程度考察接近程度套用定義格式套用定義格式下結(jié)論下結(jié)論 雖然是可以任意小的正數(shù)雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題但使用定義證題時時,對于給定的對于給定的 總暫時認(rèn)為它是固定的總暫時認(rèn)為它是固定的,按照這按照這個個 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 找找N13/312( 1)lim0.(1)nnn 例例. . 證證明明220,( 1)11|0(1)(1)1nnuannn 證證明明: :對對111,1nn 只只要要或或|.nua 不不等等式式必必然然成成立立11 ,N 所所以以取取2( 1)0.(1)nn 1( 1)lim0.nnnn ,nN 則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有1, 設(shè)設(shè)14/31例例. 10, 0lim qqnn其中其中證明證明證證0 0,nnuq ,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設(shè)不妨設(shè)15/31簡化證明簡化證明, 0 任給任給0,nnuq 令令,lnlnqN 取取,nN 則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有0.nq lim0.nnq lnln ,nq 則則ln.lnnq 甚至更簡化為甚至更簡化為, 0 任給任給ln,lnNq 令令,nN 則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有0.nq lim0.nnq 16/312221lim.3243nnnnn 例例. . 證證明明22221105|,32433(324)nnnnuannnn證證明明: :10,max2,N 所所以以, ,對對取取2221.3243nnnn 2221lim.3243nnnnn,nN 則則當(dāng)當(dāng)時時 就就有有25100,nn當(dāng)當(dāng)時時，于于是是2221055101,3(324)3(3249)5nnnnnnnnn 17/31注：注： 為了簡化解不等式的運算為了簡化解不等式的運算,常常把常常把nua 作適當(dāng)放大作適當(dāng)放大.22:lim1.nnan 練練習(xí)習(xí) 證證明明224lim4.(122.3nnnn 習(xí)習(xí)題題（ ）) )236lim0.2nnnn 18/31例例(),lim.nnnuC CuC設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù)證證明明證證nuC CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).19/311. 有界性有界性如如,1nnun 數(shù)數(shù)列列2nnu 數(shù)數(shù)列列有界有界;無界無界.定義定義,nu對對數(shù)數(shù)列列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M,|,nuM 成成立立數(shù)數(shù)n,恒有恒有稱為無界稱為無界.則稱數(shù)列則稱數(shù)列 有界有界;nu 數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點 都落在都落在nu,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然四、四、收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)20/31定理定理1 1證證lim,nnua 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取,1,nNnNua則則使使得得當(dāng)當(dāng)時時恒恒有有11.naua即即有有,max,n則則對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) .nu故故有有界界有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數(shù)列必定有界的數(shù)列必定有界. .無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,1|,u2|,u|,Nu,nuM 皆皆有有21/312. 唯一性唯一性定理定理2 2證證lim,nnua 設(shè)設(shè)由定義由定義,1nnNua 當(dāng)當(dāng)時時恒恒有有 ,max21NNN 取取nN 則則當(dāng)當(dāng)時時,(1),(2),(1),(2)式式同同時時成成立立, ,故故a=b, 收斂數(shù)列極限唯一收斂數(shù)列極限唯一.每個每個收斂收斂的數(shù)列只有一個極限的數(shù)列只有一個極限. .lim,nnub 又又120,2baNN 對對使得使得,ab 不不妨妨設(shè)設(shè)(1)2nabu (2)2nabu 2nnNub 當(dāng)當(dāng)時時恒恒有有矛盾，矛盾，22/31例例11().nnu 證證明明 數(shù)數(shù)列列是是發(fā)發(fā)散散的的證證,21 取取, 0 N則則,時時即當(dāng)即當(dāng)Nn 區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.11,nu 而而無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取兩兩個個數(shù)數(shù)不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi).,nu 是是有有界界的的21 a21 aa,時時當(dāng)當(dāng)Nn 12,nua有有成成立立 反證法反證法假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nu收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .1122(,),nuaa但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .23/313. 保號性保號性定理定理3 3 如果如果lim,nnua 且且0 a, 0 N則則,Nn 當(dāng)當(dāng)0nu 有有),0( a0().nu 證證0 a由定義由定義, 02 a ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 對對, 0 N2,naua有有 從而從而nu 2aa 2a . 0 推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列 nu從某項起有從某項起有0nu 0(),nu 且且lim,nnua 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法24/31在數(shù)列在數(shù)列 中依次任意抽出中依次任意抽出無窮無窮多項多項: nu12,knnnuuu所構(gòu)成的新數(shù)列所構(gòu)成的新數(shù)列)(21 knnn其下標(biāo)其下標(biāo)knu這里這里 是原數(shù)列中的第是原數(shù)列中的第 項項,kn在子數(shù)列中是在子數(shù)列中是第第k項項,k4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系間的關(guān)系1 2 3 (, , ,)knuk nu 的的子數(shù)列子數(shù)列.叫做數(shù)列叫做數(shù)列kn 25/31,knua 證證knu是數(shù)列是數(shù)列nu的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列. .若若lim,nnua 則則, 0 ,N ,nN 當(dāng)當(dāng)有有nua 現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K=N,由此證明由此證明 lim.knkua 定理定理4 4設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列, 0 正整數(shù)正整數(shù) K,knua 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂于同一極限. .,kKN當(dāng)當(dāng)時時,knkN必必有有從從而而kK 當(dāng)當(dāng)26/31 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個子數(shù)列發(fā)散但若已知一個子數(shù)列發(fā)散, 或有兩個子數(shù)列或有兩個子數(shù)列斂于斂于a .nu21ku 2ku收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.一般不能斷定原數(shù)列的收斂性一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;還可以證明還可以證明:數(shù)列數(shù)列的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)均收斂于同一常數(shù)a 時時,則數(shù)列則數(shù)列nu也收也收僅從某一個子數(shù)列的收斂僅從某一個子數(shù)列的收斂(習(xí)題習(xí)題1-2 第第8題題)27/31例例 試證數(shù)列試證數(shù)列 不收斂不收斂. ncos證證 因為因為 的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于而偶子數(shù)列而偶子數(shù)列 , 1, 1, 1 ncos所以數(shù)列所以數(shù)列 收斂于收斂于, 1 , 11,1,1,28/31數(shù)列數(shù)列數(shù)列極限數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)五、小結(jié)研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號性保號性,29/31作業(yè)作業(yè)B. B. 課后練習(xí)：課后練習(xí)：課本習(xí)題課本習(xí)題1-2 (21-221-2 (21-22頁頁) ) 1.（3，4） 2.(1，4) 4. 6. 7. C. 思考題：思考題：8A. 第第2次作業(yè)次作業(yè)30/31思考題思考題13nua , 0 , 0 N“”恒有恒有是數(shù)列是數(shù)列nu收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)(2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定,nN 當(dāng)當(dāng)時時