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3.4.2 基本不等式的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題．
知識(shí)點(diǎn) 用基本不等式求最值
思考 因?yàn)閤2＋1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)x＝1時(shí)，(x2＋1)min＝2.
以上說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？
答案 錯(cuò)．顯然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．僅說(shuō)明曲線y＝x2＋1恒在直線y＝2x上方，僅在x＝1時(shí)有公共點(diǎn)．
使用基本不等式求最值，不等式兩端必須有一端是定值．如果都不是定值，可能出錯(cuò)．
梳理 基本不等式求最值的條件：
(1)x，y必須是非負(fù)數(shù)；
(2)求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否為定值；
(3)等號(hào)成立的條件是否滿足．
1．當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有≤.(√)
2．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值為4.()
類(lèi)型一 基本不等式與最值
例1 (1)若x>0，求函數(shù)y＝x＋的最小值，并求此時(shí)x的值；
(2)設(shè)0
2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
解 (1)當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝4，x＝2時(shí)，取等號(hào)．
∴函數(shù)y＝x＋(x>0)在x＝2處取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時(shí)，等號(hào)成立．
∵∈，
∴函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，
即x＝4時(shí)，等號(hào)成立．∴x＋的最小值為6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥2＋10＝6＋10＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)．
故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝y(tǒng)－9＝3，即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)，
故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.
反思與感悟 在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號(hào)成立的條件是否具備．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)設(shè)x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
解 (1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝2時(shí)，取等號(hào)，
∴f(x)的最小值為12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－1，
當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝1時(shí)，取等號(hào)．
∴f(x)的最大值為－1.
(3)方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)x－8＝，即x＝12時(shí)，等號(hào)成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝12時(shí)，等號(hào)成立．
∴x＋y的最小值是18.
類(lèi)型二 基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
命題角度1 幾何問(wèn)題的最值
例2 (1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
(2)一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解 (1)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，
則xy＝100，籬笆的長(zhǎng)為2(x＋y) m.
由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝10時(shí)，等號(hào)成立．
所以這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m.
(2)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜園的面積為xym2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號(hào)成立．
所以這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81m2.
反思與感悟 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般是先建立關(guān)于目標(biāo)量的函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求解目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件．
跟蹤訓(xùn)練2 以斜邊為2的直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得一幾何體，求該幾何體體積的最大值，并求此時(shí)幾何體的表面積．
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解 如圖，設(shè)Rt△ABC的斜邊AB＝2，AC＝b，BC＝a，CD為斜邊上的高，則CD＝＝，且a2＋b2＝4.
則以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V＝πCD2AD＋πCD2DB
＝πCD2AB＝π22＝(ab)2.
由a2＋b2＝4與a2＋b2≥2ab得
ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取“＝”．
所以V＝(ab)2≤22＝.
即當(dāng)a＝b＝時(shí)，Vmax＝.此時(shí)該幾何體的表面積為
S＝πCDAC＋πCDBC＝πCD(AC＋BC)
＝π(＋)＝2π.
即幾何體的表面積為2π.
命題角度2 生活中的最優(yōu)化問(wèn)題
例3 某食品廠定期購(gòu)買(mǎi)面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管費(fèi)及其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)買(mǎi)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元．求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解 設(shè)該廠每隔x天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，其購(gòu)買(mǎi)量為6x噸．
由題意可知，面粉的保管及其他費(fèi)用為
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋61]＝9x(x＋1)．
設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y元，
則y＝[9x(x＋1)＋900]＋61800
＝9x＋＋10809≥2＋10809＝10989(元)，
當(dāng)且僅當(dāng)9x＝，即x＝10時(shí)，等號(hào)成立．
所以該廠每10天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少．
引申探究
若受車(chē)輛限制，該廠至少15天才能去購(gòu)買(mǎi)一次面粉，則該廠應(yīng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的費(fèi)用最少？
解 設(shè)x1，x2∈[15，＋∞)，且x12得，f(x)＝＝
＝≥1.
當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時(shí)等號(hào)成立，
∴f(x)min＝1.
3．將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，則直角三角形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____m.
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
答案 4＋2
解析 設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長(zhǎng)為l，則ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋
＝4＋2
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且ab＝4，即a＝b＝2時(shí)，取等號(hào)，
∴周長(zhǎng)最小值為4＋2.
4．設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 由題意知3a3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因?yàn)閍>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立．
1．用基本不等式求最值：
(1)利用基本不等式，通過(guò)恒等變形，以及配湊，使得“和”或“積”為定值，從而求得函數(shù)最大值或最小值．這種方法在應(yīng)用的過(guò)程中要把握下列三個(gè)條件：
①“一正”——各項(xiàng)為正數(shù)；②“二定”——“和”或“積”為定值；③“三相等”——等號(hào)一定能取到．這三個(gè)條件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用基本不等式的條件．
(3)在求最值的一些問(wèn)題中，有時(shí)看起來(lái)可以運(yùn)用基本不等式求最值，但由于其中的等號(hào)取不到，所以運(yùn)用基本不等式得到的結(jié)果往往是錯(cuò)誤的，這時(shí)通?？梢越柚瘮?shù)y＝x＋(p>0)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值．
2．求解應(yīng)用題的方法與步驟：
(1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
一、填空題
1．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，則lgxlgy的最大值是________．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵x>1，y>1，
∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，lgxlgy≤2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)lgx＝lgy＝2，即x＝y(tǒng)＝100時(shí)取等號(hào)．
2．已知點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過(guò)A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，則2x＋4y的最小值為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵點(diǎn)P(x，y)在直線AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4y，即x＝，y＝時(shí)，等號(hào)成立．
3．函數(shù)y＝log2(x>1)的最小值為_(kāi)_____．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 3
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立．
∴l(xiāng)og2≥3，∴ymin＝3.
4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是______．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案
解析 ∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋＋≥＋2＝
，
故y＝＋的最小值為.
5．若xy是正數(shù)，則2＋2的最小值是____．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝或x＝y(tǒng)＝－時(shí)，取等號(hào)．
6．已知直線ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)經(jīng)過(guò)圓C：x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是________．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 9
解析 將圓C：x2＋y2－2y－5＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0,1)．
因?yàn)橹本€ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過(guò)圓心C，
所以a0＋b1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因?yàn)閎>0，c>0，所以＋≥2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立．
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝時(shí)，＋取得最小值9.
7．周長(zhǎng)為＋1的直角三角形面積的最大值為_(kāi)_____．
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
答案
解析 設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b，
則＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)，
所以直角三角形的面積S＝ab≤，
即S的最大值為.
8．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________.
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
答案 20
解析 總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和
f(x)＝4x＋4＝4x＋≥2＝160，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即x＝20時(shí)取等號(hào)．
9．設(shè)02>0，
∴y＝≤＝＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)．
∴當(dāng)x＝時(shí)，y＝有最大值4.
10．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝的最小值是________．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝1.
∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝取得最小值9.
二、解答題
11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集為{x|x>4或x<1}．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)若00，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時(shí)，等號(hào)成立，
∴f(x)的最小值為9.
12．某建筑公司用8000萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層，每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計(jì)得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值是多少？
(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝)
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，
依題意得f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3000(x≥12，x∈N*)，
f(x)＝50x＋＋3000
≥2＋3000＝5000(元)．
當(dāng)且僅當(dāng)50x＝，即x＝20時(shí)，上式取等號(hào)，
所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)取得最小值5000元．
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)用的最小值為5000元．
13．為保護(hù)環(huán)境，綠色出行，某高校今年年初成立自行車(chē)租賃公司，初期投入36萬(wàn)元，建成后每年收入25萬(wàn)元，該公司第n年需要付出的維修費(fèi)用記作an萬(wàn)元，已知{an}為等差數(shù)列，相關(guān)信息如圖所示．
(1)設(shè)該公司前n年總盈利為y萬(wàn)元，試把y表示成n的函數(shù)，并求出y的最大值；(總盈利即n年總收入減去成本及總維修費(fèi)用)
(2)該公司經(jīng)過(guò)幾年經(jīng)營(yíng)后，年平均盈利最大，并求出最大值．
考點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
題點(diǎn) 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解 (1)由題意知，每年的維修費(fèi)用是以6為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N*)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，
當(dāng)n＝10時(shí)，y的最大值為64萬(wàn)元．
(2)年平均盈利為＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2＋20＝8(當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝6時(shí)，取“＝”)．
故該公司經(jīng)過(guò)6年經(jīng)營(yíng)后，年平均盈利最大，為8萬(wàn)元．
三、探究與拓展
14．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是______．
考點(diǎn) 基本不等式求最值
題點(diǎn) 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立．
15．若關(guān)于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)k,2________M．(填∈，?)
考點(diǎn) 基本不等式中的參數(shù)問(wèn)題
題點(diǎn) 基本不等式中的參數(shù)問(wèn)題
答案 ∈
解析 M＝.
當(dāng)k∈R時(shí)，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(當(dāng)且僅當(dāng)k2＝－1時(shí)，取等號(hào))．∴2∈M.
2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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