高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第三節(jié)數(shù)列的極限

第三節(jié) 數(shù)列的極限極限思想是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法-割圓術(shù)（參看光盤(pán)演示）, 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在莊子.天下篇一書(shū)中對(duì)“截丈問(wèn)題”（參看光盤(pán)演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬(wàn)世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想. 極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.分布圖示 極限概念的引入 數(shù)列的定義 數(shù)列的極限 數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 收斂數(shù)列的有界性 極限的唯一性 例9 收斂數(shù)列的保號(hào)性 子數(shù)列的收斂性 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1-3 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、數(shù)列的定義 二、數(shù)列的極限論證法，其論證步驟為：（1）對(duì)于任意給定的正數(shù), 令 ；（2）由上式開(kāi)始分析倒推, 推出 ；（3）取 ，再用語(yǔ)言順述結(jié)論. 三、收斂數(shù)列的有界性 四、極限的唯一性 五、收斂數(shù)列的保號(hào)性六、子數(shù)列的收斂性例題選講數(shù)列的極限例1 (E01)下列各數(shù)列是否收斂, 若收斂, 試指出其收斂于何值.(1); (2); (3); (4).解 (1)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 也無(wú)限增大, 故該數(shù)列是發(fā)散的;(2)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于0, 故該數(shù)列是收斂于0;(3)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 無(wú)休止地反復(fù)取1、-1兩個(gè)數(shù),而不會(huì)接近于任何一個(gè)確定的常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的;(4)數(shù)列即為易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 無(wú)限接近于1, 故該數(shù)列是收斂于1.例2 (E02) 證明證 由，故對(duì)任給要使只要即所以，若取則當(dāng)時(shí)，就有 即 例3 設(shè)(為常數(shù))，證明證 因?qū)θ谓o對(duì)于一切自然數(shù)恒有所以， 即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).注：用定義證數(shù)列極限存在時(shí)，關(guān)鍵是：對(duì)任意給定的尋找但不必要求最小的例4 證明其中證 任給若則若欲使必須即故對(duì)任給若取則當(dāng)時(shí)，就有從而證得例5 設(shè)且求證證 任給由 要使即要對(duì)當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，恒有故例6 用數(shù)列極限定義證明 證 由于只要解得因此，對(duì)任給的取則時(shí)， 成立，即 例7 (E03) 用數(shù)列極限定義證明 證 由于，要使只要即因此，對(duì)任給的取當(dāng)時(shí)，有即 例8 (E04) 證明：若則存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)，不等式成立. 證 因由數(shù)列極限的定義知，對(duì)任給的存在當(dāng)時(shí)，恒有由于故時(shí)，恒有從而有由此可見(jiàn)，只要取則當(dāng)時(shí)，恒有 . 證畢.例9 (E05) 證明數(shù)列是發(fā)散的證 設(shè)由定義，對(duì)于使得當(dāng)時(shí)，恒有即當(dāng)時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度為1.而無(wú)休止地反復(fù)取1，1兩個(gè)數(shù)，不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1地區(qū)間. 因此改數(shù)列是發(fā)散的. 證畢.注：此例同時(shí)也表明：有界數(shù)列不一定收斂.課堂練習(xí)1設(shè) 證明數(shù)列 的極限是0.