高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.3 函數的最大(小)值與導數課件 新人教版選修2-2.ppt
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1.3.3 函數的最大(小)值與導數,第一章 1.3 導數在研究函數中的應用,1.理解最值的概念,了解最值與極值的區(qū)別. 2.會用導數求在給定區(qū)間上函數的最大值、最小值.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,如果在函數 f(x)定義域I內存在一點x0,使得對任意的xI,總有 ,那么稱 f(x0)為函數的定義域上的最大值. 如果在函數 f(x)定義域I內存在一點x0,使得對任意的xI,總有 ,那么稱 f(x0)為函數在定義域上的最小值.,知識梳理 自主學習,知識點一 函數最值的概念,答案,f(x)f(x0),f(x)f(x0),答案,思考 函數的極值與最值的區(qū)別是什么?,答案 函數的最大值和最小值是一個整體性概念,最大值必須是整個區(qū)間內所有函數值中的最大值;最小值必須是整個區(qū)間內所有函數值中的最小值. 函數的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數值得出的,函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的,函數的極值可以有多個,但最值只能有一個;極值只能在區(qū)間內取得,最值則可以在端點取得;有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點必定是極值. 當連續(xù)函數 f(x)在開區(qū)間(a,b)內只有一個導數為零的點時,若在這一點處 f(x)有極大值(或極小值),則可以判定 f(x)在該點處取得最大值(或最小值),這里(a,b)也可以是無窮區(qū)間.,1.求函數 yf(x)在a,b上的最值的步驟: (1)求函數 yf(x)在(a,b)內的極值; (2)將函數 yf(x)的各極值與端點處的函數值 f(a),f(b)比較,其中最大的一個是 ,最小的一個是 . 2.函數在開區(qū)間(a,b)的最值 在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)的函數不一定有最大值與最小值;若函數 f(x)在開區(qū)間I上只有一個極值,且是極大(小)值,則這個極大(小)值就是函數 f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.,知識點二 求函數的最值,答案,最大值,最小值,答案 沒有.,(2)函數 f(x)ln x在1,2上有最值嗎?,答案 有最大值ln 2,最小值0.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求函數的最值,解析答案,例1 求下列各函數的最值: (1) f(x)x42x23,x3,2;,解 f(x)4x34x, 令f(x)4x(x1)(x1)0, 得x1,x0,x1. 當x變化時,f(x)及 f(x)的變化情況如下表:,當x3時,f(x)取最小值60; 當x1或x1時,f(x)取最大值4.,解析答案,反思與感悟,(2) f(x)x33x26x2,x1,1.,解 f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23, f(x)在1,1內恒大于0, f(x)在1,1上為增函數. 故x1時,f(x)最小值12; x1時,f(x)最大值2. 即f(x)的最小值為12,最大值為2.,反思與感悟,一般地,在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數 f(x)必有最大值與最小值,在開區(qū)間(a,b)內的連續(xù)函數 f(x)不一定有最大值與最小值.,跟蹤訓練1 設函數 f(x)ax3bxc(a0)為奇函數,其圖象在點(1,f(1)處的切線與直線x6y70垂直,導函數 f(x)的最小值為12. (1)求a,b,c的值;,解析答案,解 f(x)為奇函數,f(x)f(x). 即ax3bxcax3bxc,c0. f(x)3ax2b的最小值為12, a0,b12. 又直線x6y70的斜率為 , 因此 f(1)3ab6, 故a2,b12,c0.,(2)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間,并求函數f(x)在1,3上的最大值和最小值.,解析答案,題型二 含參數的函數的最值問題,解析答案,例2 已知a是實數,函數 f(x)x2(xa),求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值.,反思與感悟,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區(qū)間上的單調性的變化,從而導致最值的變化,所以解決這類問題常常需要分類討論,并結合不等式的知識進行求解.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓練2 a為常數,求函數 f(x)x33ax(0x1)的最大值.,解析答案,題型三 函數最值問題的綜合應用,解析答案,解析答案,解 對 f(x)x3ax2bxc求導, 得 f(x)3x22axb.,f(x)3x2x2(3x2)(x1). 令 f(x)0,,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:,解析答案,反思與感悟,(2)若對x1,2,不等式 f(x)c2恒成立,求c的取值范圍.,而 f(2)2c,則 f(2)2c為最大值. 要使 f(x)c2(x1,2)恒成立,只需c2f(2)2c, 解得c1或c2. c的取值范圍是(,1)(2,).,由不等式恒成立求參數的取值范圍是一種常見的題型,這種題型的解法有很多,其中最常用的方法就是分離參數,將其轉化為函數的最值問題,在求函數最值時,可以借助導數來求解.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓練3 設函數 f(x)2x39x212x8c, (1)若對任意的x0,3,都有 f(x)c2成立,求c的取值范圍;,解 f(x)6x218x126(x1)(x2). 當x(0,1)時,f(x)0; 當x(1,2)時,f(x)0; 當x(2,3)時,f(x)0. 當x1時,f(x)取極大值 f(1)58c.又 f(3)98cf(1), x0,3時,f(x)的最大值為 f(3)98c. 對任意的x0,3,有 f(x)c2恒成立, 98cc2,即c1或c9. c的取值范圍為(,1)(9,).,解析答案,(2)若對任意的x(0,3),都有 f(x)c2成立,求c的取值范圍.,解 由(1)知 f(x)f(3)98c, 98cc2, 即c1或c9, c的取值范圍為(,19,).,解析答案,求最值時因忽略極值與區(qū)間端點值的對比致誤,例4 求函數 f(x)x32x21在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.,返回,易錯易混,防范措施,解析答案,函數 f(x)在x0處取得最大值f(0)1,,錯因分析 求出函數的極值后,要與區(qū)間端點的函數值進行比較后方可確定函數的最值,否則會出現錯誤.,防范措施,函數 f(x)在x0處取得極大值 f(0)1,,又 f(1)2,f(2)1,,函數 f(x)的最大值是1,最小值是2.,防范措施,若連續(xù)函數yf(x)在a,b為單調函數,則其最值必在區(qū)間端點處取得;若該函數在a,b上不單調,即存在極值點,則最值可能在端點處取得,也可能在極值點處取得.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.函數 yf(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M,最小值是m,若Mm,則f(x)( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能,解析 據題 f(x)為常數函數,故 f(x)0.,A,解析答案,1,2,3,4,5,2.函數 f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值、最小值分別是( ) A.1,1 B.1,17 C.3,17 D.9,19,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,解析 f(x)3x23.令f(x)0, 即3x230,解得x1. 當x(,1)時,f(x)0; 當x(1,1)時,f(x)0; 當x(1,)時,f(x)0. 所以 f(x)在x1處取得極大值,f(x)極大值3, 在x1處取得極小值,f(x)極小值1. 而端點處的函數值f(3)17,f(0)1, 比較可得f(x)的最大值為3,最小值為17.,1,2,3,4,5,3.函數 f(x)x33x(|x|1)( ) A.有最大值,但無最小值 B.有最大值,也有最小值 C.無最大值,但有最小值 D.既無最大值,也無最小值,解析答案,D,解析 f(x)3x233(x1)(x1), 當x(1,1)時,f(x)0, 所以 f(x)在(1,1)上是單調遞減函數,無最大值和最小值, 故選D.,1,2,3,4,5,解析答案,A. B. C. D.,A,解析 f(x)ex(sin xcos x).,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知 f(x)2x36x2a(a為常數)在2,2上有最小值3,那么f(x)在2,2上的最大值是_.,43,解析 令f(x)6x212x0,解得x0或x2. 當x(2,0)時,f(x)0; 當x(0,2)時,f(x)0, x2,0,2對應的 f(x)的值分別為a40,a,a8. 因為a40a8a, 所以a40為最小值,a為最大值,則a403,a43, 故 f(x)在2,2上的最大值是43.,課堂小結,返回,1.求解函數在固定區(qū)間上的最值,在熟練掌握求解步驟的基礎上,還需注意:對函數進行準確求導;研究函數的單調性,正確確定極值和端點函數值;比較極值與端點函數值的大小時,有時需要利用作差或作商,甚至要分類討論. 2.解決恒成立問題常用的方法是轉化為求函數最值問題. 如:f(x)m恒成立,只需f(x)minm成立即可,也可轉化為h(x)f(x)m,這樣就是求h(x)min0的問題. 若對某區(qū)間D上恒有f(x)g(x)成立,可轉化為h(x)f(x)g(x),求h(x)min0的問題.,- 配套講稿:
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- 高中數學 第一章 導數及其應用 1.3.3 函數的最大小值與導數課件 新人教版選修2-2 導數 及其 應用 1.3 函數 最大 課件 新人 選修
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