線性微分方程解的結(jié)構(gòu).ppt
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,高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程,一元微積分學(xué),大學(xué)數(shù)學(xué)(一),第四講線性微分方程解的結(jié)構(gòu),腳本編寫:彭亞新,教案制作:彭亞新,第七章常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求:,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程:變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利(Bernoulli)方程。熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法:,了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu),并知道高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.掌握自由項(xiàng)(右端)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法.,1.二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),2.二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu),3.n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),第四節(jié)高階線性微分方程的一般理論,1.二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),二階線性微分方程的一般形式為,通常稱(2)為(1)的相對(duì)應(yīng)的齊次方程。,二階線性齊次微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),(1)疊加原理,(2)線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān),(3)朗斯基(Wronsky)行列式,(4)二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu),(5)劉維爾公式,1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),(1)疊加原理,的解,則它們的線性組合,也是方程(2)的解,,證,的解,則它們的線性組合,也是方程(2)的解。,在什么情況下,疊加所得可以成為方程(2)的通解?,(2)線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān),證,由三角函數(shù)知識(shí)可知,這是不可能的,故,(4)二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu),的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,則,是方程(2)的通解。,解,又容易看出:,而,由疊加原理,原方程的通解為,代入方程中,得,即,故有,兩邊積分,得,(5)劉維爾公式,為原方程的通解。,則,解,由劉維爾公式,故原方程的通解為,2.二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu),(1)解的性質(zhì),(1)解的性質(zhì),的一個(gè)特解,則,是原方程的一個(gè)特解。,是其對(duì)應(yīng)的齊次方程,的一個(gè)特解。,的一個(gè)特解,則,是方程,的一個(gè)特解。,的一個(gè)特解。,可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1性質(zhì)4。,如何求特解?,的通解,則,是方程(1)的通解。,則有,令,以下推導(dǎo)的前提,于是,對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得,即,聯(lián)立(3)、(4)構(gòu)成方程組,解此方程組,再積分,并取積分常數(shù)為零,即可得到,解,該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為,它就是我們剛剛講過(guò)的例題,由劉維爾公式得其通解為,由常數(shù)變易法,解方程組,兩邊積分,取積分常數(shù)為零,得,兩邊積分,取積分常數(shù)為零,得,故原方程有一特解,從而,原方程的通解為,n階線性方程的一般形式為,3.n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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