（浙江專版）2019年高考數學一輪復習 專題3.5 導數的綜合應用（測）.doc

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第05節(jié) 導數的綜合應用 班級__________ 姓名_____________ 學號___________ 得分__________ 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1.【2018屆山東省實驗中學二?！亢瘮档膱D象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.如圖所示，連結棱長為2的正方體各面的中心得一個多面體容器，從頂點處向該容器內注水，注滿為止.已知頂點到水面的高度以每秒1勻速上升，記該容器內水的體積與時間的函數關系是，則函數的導函數的圖像大致是（ ） 【答案】D 【解析】 正方體各個面的中心為頂點的凸多面體為正八面體，棱長為，高為2， 設時間為t時，當t≤1時，此時水面的邊長為b，，則，則水面的面積為，該容器內水的體積，當t＞1時，此時水面的邊長為c，，則，則水面的面積為，該容器內水的體積， ∴ 3． “函數存在零點”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分不用必要條件 【答案】B 【解析】 ,所以若函數存在零點,則 ,因此“函數存在零點”是“”的必要不充分條件,選B. 4. 【2018屆云南省玉溪市高三適應性訓練】函數，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：求出函數的導函數，通過解析式可以判斷出當時.而在左右兩側單調性不同，所以可以根據函數兩側的單調性及在處取得極小值的性質，求出不等式的解集. 詳解： 且令 得 所以當 時，，函數單調遞減； 當 時，，函數單調遞增； 若， 則 或 解不等式得或 即 的解集為C. 5.【2018屆北京市十一學校三?！恳阎瘮蹬c的圖象上存在關于對稱的點，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意可知有解，即在有解，求導數，確定函數的單調性，可知m的范圍. 解析：函數與的圖象上存在關于對稱的點， 有解， ， 在有解， ， 函數在上單調遞增，在上單調遞增， . 故選：D. 6.【2018屆安徽省淮南市二?！亢瘮担瑒t方程恰有兩個不同的實根時，實數范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析: 由方程f（x）=kx恰有兩個不同實數根，等價于y=f（x）與y=kx有2個交點，又k表示直線y=kx的斜率，數形結合求出k的取值范圍． 詳解: ∵方程f（x）=kx恰有兩個不同實數根，∴y=f（x）與y=kx有2個交點， 又∵k表示直線y=kx的斜率， x＞1時，y=f（x）=lnx，∴y′=； 設切點為（x0，y0），則k=， ∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0）， 又切線過原點，∴y0=1，x0=e，k=， 如圖所示；結合圖象，可得實數k的取值范圍是. 故答案為：C 7.【浙江省金華市浦江縣2018年高考適應性考試】已知函數，則（ ） A. 當時，在單調遞減 B. 當時，在單調遞減 C. 當時，在單調遞增 D. 當時，在單調遞增 【答案】D 【解析】分析：求導然后分析函數單調性根據a，b取值情況，重點分析最值即可得出原函數的單調情況，從而得出結論 詳解：，當令則，所以 h（x）在（0,2）遞減， （2，）遞增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以則 在單調遞增，選D 8．【四川省成都市2018年高考模擬試卷（一）】己知函數，若關于的方程恰有3個不同的實數解，則實數的取值范圍是( ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意，函數，得，得到函數的單調性與最大值，再又方程，解得或，結合圖象，即可求解. 要使得方程恰有三個不同的實數解， 則，解得，故選C. 9.【2018屆安徽省示范高中（皖江八校）5月聯(lián)考】設函數 (為自然對數的底數），當時恒成立，則實數的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 分別作出的圖像，要使的圖象在的圖象下方， 設切點，切線為， 即， 由切線過得，， 解得或或， 由圖像可知.故選D. 10.【2018屆江西師范大學附屬中學三模】已知函數有兩個零點，且，則下列結論錯誤的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先通過函數有兩個零點求出，再利用導數證明，即證明. 因為函數f(x)有兩個零點，所以 又 又 令 則 所以函數g(x)在上為減函數，=0，又， 又， ∴，即. 故答案為：B 二、填空題：本大題共7小題，共36分． 11.【2018屆湖南省衡陽市二模】函數的圖象與二次函數的圖象恰有兩個不同的交點，則實數的值是__________． 【答案】 【解析】當x≤0時，函數的圖像與二次函數的圖象恰有一個交點， 設當x>0時， 的圖像與相切于點， 因為 故填. 點睛:解答與曲線切線有關的問題,如果不知道切點，一般都要設切點,再求切線的方程. 再利用其它條件轉化求解.本題就是按照這種技巧解答的. 12.【2018屆江蘇省南京市三?！恳阎獮樽匀粚档牡讛担舸嬖?，使得函數在上存在零點，則的取值范圍為_________． 【答案】 【解析】分析：先轉化為存在零點，再利用數形結合分析兩種情況下求a的最大值和最小值得解. 當直線y=ax+b過點且與相切時，最小， 設切點為，則切線方程為， 此時 所以a的最小值為 所以的取值范圍為. 故答案為： 點睛：(1)本題主要考查函數的零點問題和導數的幾何意義，意在考查學生這些基礎知識的掌握能力和分析轉化數形結合的能力. (2)本題的關鍵有兩點，其一是轉化為存在零點，其二是如何數形結合分析兩個函數的圖像求出a的最大值和最小值. 13．【2018屆山西省孝義市一?！慨?，不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】分析：先分離參數得到a，構造函數f（x）=．利用導數求出函數的最值即可求解實數a的取值范圍． 詳解：∵x＞1時，不等式（x﹣1）ex+1＞ax2恒成立 ∴（x﹣1）ex﹣ax2+1＞0恒成立， ∴a，在（1，+∞）恒成立， 設f（x）=， f′（x）= ∵x2ex﹣2（x﹣1）ex+2=ex（x2﹣2x+2）+2=ex[（x﹣1）2+1]+2＞0恒成立， ∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立， ∴f（x）在（1，+∞）單調遞增， ∴f（x）min＞f（1）=1， ∴a≤1. 故填（﹣∞，1]． 點睛：本題的關鍵是分離參數得到a，再構造函數f（x）=．利用導數求出函數的最小值即可求解實數a的取值范圍．處理參數問題常用分離參數的方法，可以提高解題效率，優(yōu)化解題. 14．【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點中學高考沖刺（三）】若關于的方程在上有兩個不同的解，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】分析：方程可通過變量分離得到，，設，求導得到函數的單調性及最值，從而可得參數范圍. 若方程存在兩個不同解，則，∴，， 設，則在上單調遞增，且， ∴在上單調遞減，上單調遞增， ∴， ∵，∴在上恒成立， ∴若方程存在兩個不同解，則，即. 故答案為：. 15．【2018屆廣東省肇慶市三模】已知函數，若有且只有一個整數根，則的取值范圍是_____. 【答案】 點睛：本題主要的技巧是分離函數和數形結合分析.把有且只有一個整數根等價轉化為是本題的關鍵，這里主要是利用了數形結合的思想. 16．【2018屆云南省昆明第一中學第八次月考】設函數（為非零實數），若函數有且僅有一個零點，則的取值范圍為_____________. 【答案】 【解析】分析：先令函數，得，構造新函數，利用導數研究函數的單調性及極值，再根據函數有且僅有一個零點等價于函數與有且僅有一個交點，即可求得的取值范圍. 詳解：令，得. 設，則. 令，得，即在上為單調遞增； 令，得或，即在和單調遞減. ∴當時，； 當時，. ∵函數有且僅有一個零點 ∴函數與有且僅有一個交點 ∴ 故答案為. 點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解． 17．【2018屆寧夏銀川4月檢測】已知函數是定義在上的奇函數，當時，，給出以下命題： ①當時，； ②函數有個零點； ③若關于的方程有解，則實數的取值范圍是； ④對恒成立， 其中，正確命題的序號是__________． 【答案】①④ 【解析】依題意，令，則，所以，即，故①正確；當時，，當時，，即函數在上為減函數，當時，，即函數在上為增函數，因為，所以在上，，在上，由此可判斷函數在上僅有一個零點，由對稱性可得函數在上有一個零點，又因為，故該函數有個零點，故②錯誤；作出函數的圖象如圖所示： 若方程有解，則，且對恒成立，故③錯誤，④正確. 故答案為①④. 三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 18．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】已知函數 (I)求函數的導函數； (Ⅱ)證明:(為自然對數的底數) 【答案】（I）．（Ⅱ）見解析. （Ⅱ）設， 則函數在單調遞減，且，， 所以存在，使，即， 所以 ， 所以，且在區(qū)間單調遞增，區(qū)間單調遞減． 所以 ＝． 19.【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應性考試】已知函數 （Ⅰ）求函數在點處的切線方程； （Ⅱ）求證： 【答案】(1).(2)證明見解析. 【解析】分析：（1）求切線方程先求導，然后代入切點橫坐標的出切線斜率即可求得切線方程；（2）分析函數單調性求出函數最值即可. （Ⅰ） 所以則切線方程為 （Ⅱ）令則設的兩根為， 由于不妨設則在是遞減的，在是遞增的， 而所以在單調遞增， 所以，因為 所以. 點睛：考查導數的幾何意義和單調性最值的應用，屬于常規(guī)題. 20．【騰遠2018年（浙江卷）紅卷】已知函數. （1）求函數的單調區(qū)間； （2）若，對任意的恒成立，求實數的取值范圍. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】分析：（1）由題意求得，令得 或，分類討論即可求解函數的單調區(qū)間； （2）由（1）知，當時，函數的單調性，求得函數的極大值與極小值，又由要對任意的 恒成立，結合圖象得，即可求解. （2）因為，則. 且由（1）知，當時，函數在上單調遞增，在單調遞減， 所以函數的極大值與極小值分別為. 若要對任意的恒成立， 結合圖象可知只需滿足即可， 解得. 點睛：本題主要考查導數在函數中的應用，以及不等式的恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用. 21．已知函數，其中． （1）若在區(qū)間上為增函數，求的取值范圍； （2）當時，證明：； （3）當時，試判斷方程是否有實數解，并說明理由． 【答案】（1）；（2）見解析；（3）無解. 【解析】分析：（1）解不等式得到a的范圍. (2)證明的最大值小于等于零.(3) 設，，再，最后判斷方程沒有實數解． 詳解：（1）因為在區(qū)間上為增函數， 所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 則． （2）當時，，． 令，得， 令，得，所以函數在單調遞增； 令，得，所以函數在單調遞減， 所以， 所以成立． （3）由（2）知，，所以． 設，，所以． 令，得， 令，得，所以函數在單調遞增； 令，得，所以函數在單調遞減， 所以，即， 所以，即． 所以方程沒有實數解． 點睛：（1）本題主要考查利用導數解決函數單調性問題、最值和零點問題，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是利用導數研究零點問題，把零點問題轉化為最值問題，，，所以方程沒有實數解． 22．【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數. （Ⅰ）若方程只有一解，求實數的取值范圍； （Ⅱ）設函數，若對任意正實數， 恒成立，求實數的取值范圍. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數研究函數的單調性，可得函數在上單調遞減，函數在區(qū)間上單調遞增，根據單調性可得時， ， 時， ,且，結合函數圖象可得結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意正實數， 恒成立，等價于，先排除，當時，利用導數可得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 所以對任意正實數， 恒成立， 等價于. ∵. （1）當時， ，與式矛盾，故不合題意. （2）當時， 當時， ，當時， ， 所以在上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減. ，所以. 綜合（1）（2）知實數的取值范圍為.