(通用版)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第20講 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版.docx
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第20講函數(shù)y=Asin(x+)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.y=Asin(x+)的有關(guān)概念振幅周期頻率相位初相y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)AT=f=1T= 2.用五點(diǎn)法畫y=Asin(x+)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),要找五個(gè)特征點(diǎn),如下表所示:xx+y=Asin(x+)0A0-A03.函數(shù)y=sin x的圖像經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖像的步驟圖3-20-1題組一常識(shí)題1.教材改編 函數(shù)y=sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是.2.教材改編 某函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=sinx+4,則原函數(shù)的解析式是.3.教材改編 函數(shù)y=cos2x-2的周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為.4.教材改編 已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)=2sin3x+|0,若函數(shù)f(x)=12sin x在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞增,則的取值范圍是.7.若f(x)=2sin(x+)+m對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,則實(shí)數(shù)m=.圖3-20-28.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)0,|0)個(gè)單位長(zhǎng)度.特別提醒:平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言,即x本身加減多少值,而不是依賴于x加減多少值.變式題 (1)2018江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 將函數(shù)y=sinx-6的圖像上所有的點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),則所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為()A.y=sin2x-512B.y=sinx2+12C.y=sinx2-512D.y=sinx2-524(2)為了得到函數(shù)y=sin 3x的圖像,可以將y=cos 3x的圖像()A.向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度探究點(diǎn)二函數(shù)y=Asin(x+)的圖像與解析式例2 (1)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,|0,-0,0)的解析式主要從以下三個(gè)方面考慮:(1)根據(jù)最大值或最小值求出A的值.(2)根據(jù)周期求出的值.(3)求的常用方法如下:代入法:把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.五點(diǎn)法:確定的值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.圖3-20-5變式題 已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(0,|0,|0)的形式;(2)把x+看成一個(gè)整體;(3)借助正弦函數(shù)y=sin x的圖像與性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.變式題 (1)2018益陽(yáng)調(diào)研 將函數(shù)f(x)=cos(2x+)|0,0,2的部分圖像如圖3-20-6所示,則下列說(shuō)法正確的是()圖3-20-6A.函數(shù)f(x)的周期為B.函數(shù)y=f(x-)為奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)在-,2上單調(diào)遞增D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)34,0對(duì)稱探究點(diǎn)四三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4 如圖3-20-7所示,制圖工程師要用兩個(gè)同中心且邊長(zhǎng)均為4的正方形合成一個(gè)八角形圖形,由對(duì)稱性知,圖中8個(gè)三角形都是全等的三角形,設(shè)AA1H1=.圖3-20-7(1)試用表示AA1H1的面積;(2)求八角形所覆蓋面積的最大值,并指出此時(shí)的大小. 總結(jié)反思 三角函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面:(1)已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的含義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則;(2)把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)模型問題,關(guān)鍵是利用三角函數(shù)表示實(shí)際問題中的有關(guān)量,建立模型.變式題 某城市一年12個(gè)月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,12)來(lái)表示,已知6月份的平均氣溫最高,為28 ,12月份的平均氣溫最低,為18 ,則10月份的平均氣溫為.第20講函數(shù)y=Asin(x+)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用考試說(shuō)明 1.了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義;能畫出函數(shù)y=Asin(x+)的圖像,了解參數(shù)A,對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題,體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.22x+2.-2-32-2-023223.|對(duì)點(diǎn)演練1.y=2sin x解析 根據(jù)函數(shù)圖像變換法則可得.2.y=sinx+34解析 函數(shù)y=sinx+4的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=sinx+2+4=sinx+34的圖像,即原函數(shù)的解析式為y=sinx+34.3.-4+k,4+k(kZ)解析 y=cos2x-2=sin 2x,所以函數(shù)的周期T=22=.由-2+2k2x2+2k(kZ),得-4+kx4+k(kZ),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-4+k,4+k(kZ).4.6解析 將點(diǎn)(0,1)代入函數(shù)解析式,可得2sin =1,即sin =12.|0,所以(0,1.7.-5或-1解析 由f8+t=f8-t得,函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=8.故當(dāng)x=8時(shí),函數(shù)取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-6解析 由圖像可知,T=4712-3=,所以=2=2.因?yàn)閒3=sin23+=1,所以23+=2+2k(kZ),即=-6+2k(kZ),又|2,所以=-6.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 根據(jù)圖像平移“左加右減”的規(guī)則以及平移量確定結(jié)果.(1)A(2)A解析 (1)由題意知,將f(x)=sin2x+4的圖像向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到y(tǒng)=sin2x+8+4=sin2x+2=cos 2x的圖像,故選A.(2)把y=sin2x+2圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍,得到函數(shù)y=sinx2+2的圖像,再把所得圖像沿x軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到y(tǒng)=sin12x-3+2=sin12x+3的圖像.故選A. 變式題(1)C(2)A解析 (1)將函數(shù)y=sinx-6的圖像向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sinx-512的圖像,再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sinx2-512的圖像,故選C.(2)由題意知,y=cos 3x=sin3x+2=sin 3x+6,將函數(shù)y=sin 3x+6的圖像向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=sin 3x+6-6=sin 3x的圖像,故選A.例2思路點(diǎn)撥 (1)先根據(jù)圖像確定A,T,再根據(jù)平移得函數(shù)g(x)的解析式;(2)結(jié)合函數(shù)的圖像首先確定的值,然后確定的值即可.(1)D(2)910解析 (1)由題圖得,A=2,T=78-8=,=2T=2.當(dāng)x=38-82=8時(shí),y=2,28+=2+2k(kZ),=4+2k(kZ),又|,=4,f(x)=2sin2x+4,g(x)=2sin2x-4+4=2sin2x-4,故選D.(2)由題意可知,函數(shù)的最小正周期T=22-34=52,則=2T=252=45.當(dāng)x=2時(shí),x+=452+=2k+2(kZ),則=2k-1110(kZ),由于-0,|)的圖像,且A2,1,B(,-1),可得從點(diǎn)A到點(diǎn)B正好經(jīng)過(guò)了半個(gè)周期,即122=-2,=2.再把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,可得2sin22+=-2sin =1,2sin(2+ )=2sin =-1,sin =-12,=2k-6或=2k-56,kZ.再結(jié)合“五點(diǎn)作圖法”,可得=-56.例3思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)已知求得的值,然后求出的值,從而可求出f(x)的解析式,進(jìn)而得到g(x)的解析式;(2)確定g(x)的單調(diào)性,然后求出最值.解:(1)由題意可知,T2=1112-512=2,=2,又sin2512+=1,|2,=-3,f(x)=sin2x-3,g(x)=sin4x+6.(2)由(1)可知,g(x)在0,12上為增函數(shù),在12,4上為減函數(shù),g(x)max=g12=1,又g(0)=12,g4=-12,g(x)min=g4=-12,故函數(shù)g(x)在0,4上的最大值和最小值分別為1和-12. 變式題(1)A(2)B解析 (1)由題意知,g(x)=cos2x-3+=cos2x-23+,令2x-23+=k(kZ),則函數(shù)g(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=3-2+k2(kZ),令3-2+k2=4(kZ),則=6+k(kZ),又|2,所以=6.故選A.(2)觀察圖像可得,函數(shù)的最小值為-2,所以A=2.由圖像可知函數(shù)過(guò)點(diǎn)(0,3),所以3=2sin ,又因?yàn)?54,所以00,|2的部分圖像如圖所示,則f12=()A.3B.3C.1D.33解析 A由題可知,T2=512-6=4,T=2,=T=2.由圖像可知,5122+=k(kZ),得=-56+k(kZ),又|0,|2,其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為4,將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移316個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,那么函數(shù)y=f(x)的圖像()A.關(guān)于點(diǎn)-16,0對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)16,0對(duì)稱C.關(guān)于直線x=16對(duì)稱D.關(guān)于直線x=-4對(duì)稱解析 B函數(shù)y=f(x)的圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為4,函數(shù)的周期T=2,=2T=4,f(x)=sin(4x+).將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移316個(gè)單位長(zhǎng)度后, 得到函數(shù)y=sin4x+316+的圖像,所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,4316+=k+2,kZ,即=k-4,kZ,又|0,0,|0,A=2.f-8=2,2-8+=2+2k,kZ,=34+2k,kZ,又|,=34,f(x)=2sin2x+34.由-2+2k2x+342+2k,kZ,得-58+kx-8+k,kZ,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-58+k,-8+k,kZ.(2)x-38,4,2x+340,54,當(dāng)2x+34=54,即x=4時(shí),f(x)min=-2,當(dāng)2x+34=2,即x=-8時(shí),f(x)max=2, 函數(shù)f(x)在-38,4上的值域?yàn)?2,2.例4配合例4使用 一根長(zhǎng)a cm的線一端固定,另一端懸掛一個(gè)小球,小球擺動(dòng)時(shí),離開平衡位置的位移s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s=3cosgat+3,t0,+),則小球擺動(dòng)的周期為s.答案 2ag解析 小球的位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=3cosgat+3,t0,+),小球擺動(dòng)的周期T=2ga=2ag.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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