人教版數(shù)學(xué)八年級下冊 17.1 勾股定理同步練習(xí)【含答案】

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1、第十七章勾股定理171勾股定理第1課時勾股定理1如圖是歷史上對勾股定理的一種證法采用的圖形,用四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形,中間空白的部分是一個小正方形求中間空白小正方形的面積,不難發(fā)現(xiàn):方法:小正方形的面積 ;方法:小正方形的面積 ;由方法,可以得到a,b,c的關(guān)系為: 2在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為( )A5 B6 C7 D83已知直角三角形中30角所對的直角邊的長是2 cm,則另一條直角邊的長是( )A4 cm B4 cm C6 cm D6 cm4如圖,點E在正方形ABCD的邊AB上,若EB1,EC2,則正方形ABCD的面積為 5在RtABC中,C90,AC9,B

2、C12,則點C到AB的距離是 6如圖,在ABC中,ABC90,分別以BC,AB,AC為邊向外作正方形,面積分別記為S1,S2,S3.若S24,S36,則S1 7在ABC中,C90,ABc,BCa,ACb.(1)a7,b24,求c;(2)a4,c7,求b.8如圖,在ABC中,AB13,AC20,AD12,且ADBC,垂足為D,求BC的長9已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為 10如圖,點E在正方形ABCD內(nèi),滿足AEB90,AE6,BE8,則陰影部分的面積是( )A48 B60 C76 D80 11如圖,將兩個大小、形狀完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中點A與點A重合,點C落在

3、邊AB上,連接BC.若ACBACB90,ACBC3,則BC的長為( )A3 B6 C3 D.eq12如圖,分別以RtABC的三邊為邊長向外作等邊三角形若AB4,則三個等邊三角形的面積之和是( )A8 B6 C18 D1213在RtABC中,C90,若ABAC2,BC8,則AB的長是 14我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖1所示在圖2中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJAB,則正方形EFGH的邊長為 15如圖,在ABC中,C90,D是AC中點求證:AB23BC24BD2.16勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧

4、妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感他驚喜地發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時,都可以用“面積法”來證明下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程:將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中DAB90,求證:a2b2c2. 圖1 圖2證明:連接DB,DC,過點D作BC邊上的高DF,DFECba.S四邊形ADCBSACDSABCb2ab,又S四邊形ADCBSADBSDCBc2a(ba),b2abc2a(ba)a2b2c2.請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中DAB90.求證:a2b2c2.第2課時勾股定理的應(yīng)用1如圖,一艘巡邏船由A港沿北偏

5、西60方向航行5海里至B港,然后再沿北偏東30方向航行4海里至C港,則A,C兩港相距( )A4海里 B.eq海里 C3海里 D5海里2如圖,廠房屋頂人字形鋼架的跨度BC12米,ABAC6.5米,則中柱AD(D為底邊BC的中點)的長是( )A6米 B5米 C3米 D2.5米3如圖所示,一場暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面5 m處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經(jīng)測量AB12 m,則樹高為( )A13 m B17 m C18 m D22 m4如圖,學(xué)校有一塊長方形花圃,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了4米路,卻踩傷了花草5如圖,有兩棵樹,一棵高10 m,另一棵

6、高4 m,兩樹相距8 m,一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行 m.6九章算術(shù)“勾股”章有一題:“今有戶高多于廣六尺,兩隅相去適一丈,問戶高、廣各幾何?”大意是說:已知長方形門的高比寬多6尺,門的對角線長1丈,那么門的高和寬各是多少?(1丈10尺),如果設(shè)門的寬為x尺,那么這個門的高為(x6)尺,根據(jù)題意得方程: 7如圖,某人欲垂直橫渡一條河,由于水流的影響,他實際上岸地點C偏離了想要達到的B點140米(即BC140米),結(jié)果他在水中實際游了500米(即AC500米),求該河AB處的寬度8如圖,滑竿在機械槽內(nèi)運動,ACB為直角,已知滑竿AB長2.5 m,頂點A在AC上滑動,量

7、得滑竿下端B距C點的距離為1.5 m,當(dāng)端點B向右移動0.5 m時,滑竿頂端A下滑 m.9為了推廣城市綠色出行,南沙區(qū)交委準(zhǔn)備在蕉門河沿岸東西走向AB路段建設(shè)一個共享單車停放點,該路段附近有兩個廣場C和D,如圖所示,CAAB,DBAB,垂足分別為點A,B.AB3 km,CA2 km,DB1.6 km,試問這個單車停放點E應(yīng)建在距點A多少千米處,才能使它到兩廣場的距離相等?10如圖,小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m,當(dāng)他把繩子的下端拉開5 m后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,則旗桿的高是( )A8 m B10 m C12 m D14 m11如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架

8、梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7 m,頂端距離地面2.4 m如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2 m,那么小巷的寬度為( )A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m12如圖為某樓梯,測得樓梯的長為5 m,高3 m,計劃在樓梯表面鋪地毯,則地毯的長度至少為( )A4 m B8 m C9 m D7 m13如圖,小李準(zhǔn)備建一個蔬菜大棚,棚寬4 m,高3 m,長20 m,棚的斜面用塑料薄膜遮蓋,不計墻的厚度,則陽光透過的最大面積為 m2.14如圖,長為8 cm的橡皮筋放置在x軸上,固定兩端A和B,然后把中點C向上拉升3 cm到點D,則橡皮筋被拉長了

9、 cm.15無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示將一根長為20 cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi),木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.16超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因上周末,小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段,嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速,觀測點設(shè)在到公路l的距離為100 m的P處這時,一輛轎車由西向東勻速駛來,測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3 s,并測得APO60,BPO45,試判斷此車是否超過了80 km/h的限制速度?17如圖,距沿海某城市A正南220千米的B處,有一臺風(fēng)中心,其最大風(fēng)力為12級,每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米,風(fēng)力就減弱1級,該中心正以每小時15千米的速度沿北偏東30的BC方向移

10、動,且風(fēng)力不變?nèi)舫鞘蠥所受風(fēng)力達到或超過4級,則稱為受臺風(fēng)影響(1)A城市是否會受臺風(fēng)影響?為什么?(2)若會,將持續(xù)多長時間?(3)該城市受臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?第3課時利用勾股定理作圖1如圖所示,以數(shù)軸的單位長線段為邊作一個正方形,以數(shù)軸上表示數(shù)1的點為圓心,正方形對角線長為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點A,則點A表示的數(shù)是( )A1 B2.41 C.eq D12小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個無理數(shù)的準(zhǔn)確位置后,又進一步進行練習(xí):首先畫出數(shù)軸,設(shè)原點為點O,在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點A,然后過點A作ABOA,且AB3.以點O為圓心,OB為半徑作弧,設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點為P,則點P

11、的位置在數(shù)軸上( )A1和2之間B2和3之間C3和4之間D4和5之間3在數(shù)軸上作出表示的點(保留作圖痕跡,不寫作法)4如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,點A,B都是格點,則線段AB的長度為( )A5 B6 C7 D255如圖,圖中小正方形的邊長為1,ABC的周長為( )A16 B124 C77 D5116利用如圖44的方格,作出面積為8平方單位的正方形,然后在數(shù)軸上表示實數(shù)和.7若等邊ABC的邊長為2 cm,則ABC的面積為( )A.eq cm2 B2 cm2 C3 cm2 D4 cm28如圖,等邊OAB的邊長為2,則點B的坐標(biāo)為( )A(1,1) B(1,) C(,1) D(

12、,)9如圖,在22的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形邊長為1,點A,B,C均為格點,以點A為圓心,AB長為半徑作弧,交格線于點D,則CD的長為( )A.eq B.eq C.eq D210將一副三角尺按如圖所示疊放在一起,若AB12 cm,則AF cm.11如圖,在ABC中,ABAC13 cm,BC10 cm,求BC邊上的高12如圖,在55的正方形網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長為1個單位長度),格點上有A,B,C,D,E五個點,若要求連接兩個點所成線段的長度大于3且小于4,則可以連接( )AAE BAB CAD DBE13如圖,在33的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上若BD是ABC

13、的高,則BD的長為( )A.eq B.eq C.eq D.eq14在如圖的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1.(1)請在圖中畫一個邊長為的正方形;(2)這個正方形的面積為 15如圖,ABC和DCE都是邊長為4的等邊三角形,點B,C,E在同一條直線上,連接BD,求BD的長16仔細(xì)觀察圖形,認(rèn)真分析下列各式,然后解答問題OA()212,S1;OA()213,S2;OA()214,S3;(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)推算出OA10的長;(3)求出SSSS的值答案:第十七章勾股定理171勾股定理第1課時勾股定理1方法:小正方形的面積c24abc22ab;方法:小正方形的

14、面積(ba)2b22aba2;由方法,可以得到a,b,c的關(guān)系為:a2b2c22A3C435627解:(1)C90,ABC是直角三角形a2b2c2.72242c2.c249576625.c25.(2)C90 ,ABC是直角三角形a2b2c2.42b272.b27242491633.b.8解:AB13,AC20,AD12,ADBC,RtABD中,BD5,RtACD中,CD16.BCBDCD51621.95或10C11A12A1317141015證明:在RtBDC中,根據(jù)勾股定理,得BD2CD2BC2.CD2BD2BC2.在RtABC中,根據(jù)勾股定理,得AC2BC2AB2.D是AC的中點,AC2C

15、D.4CD2BC2AB2.CD2.BD2BC2.AB23BC24BD2.16證明:連接DB,過點B作DE邊上的高BF,BFba.S五邊形ACBEDS梯形ACBESAED(ab)bab,又S五邊形ACBEDSACBSADBSBEDabc2a(ba),(ab)bababc2a(ba)a2b2c2.第2課時勾股定理的應(yīng)用1如圖,一艘巡邏船由A港沿北偏西60方向航行5海里至B港,然后再沿北偏東30方向航行4海里至C港,則A,C兩港相距( B )A4海里 B.eq海里 C3海里 D5海里2如圖,廠房屋頂人字形鋼架的跨度BC12米,ABAC6.5米,則中柱AD(D為底邊BC的中點)的長是( D )A6米

16、B5米 C3米 D2.5米3如圖所示,一場暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面5 m處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經(jīng)測量AB12 m,則樹高為( C )A13 m B17 m C18 m D22 m4如圖,學(xué)校有一塊長方形花圃,有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,在花圃內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了4米路,卻踩傷了花草5如圖,有兩棵樹,一棵高10 m,另一棵高4 m,兩樹相距8 m,一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行10m.6九章算術(shù)“勾股”章有一題:“今有戶高多于廣六尺,兩隅相去適一丈,問戶高、廣各幾何?”大意是說:已知長方形門的高比寬多6尺,門的對角線長1丈,那么門的高和

17、寬各是多少?(1丈10尺),如果設(shè)門的寬為x尺,那么這個門的高為(x6)尺,根據(jù)題意得方程:x26x3207如圖,某人欲垂直橫渡一條河,由于水流的影響,他實際上岸地點C偏離了想要達到的B點140米(即BC140米),結(jié)果他在水中實際游了500米(即AC500米),求該河AB處的寬度解:在RtABC中,AB2BC2AC2,即AB214025002,解得AB480.答:該河AB處的寬度為480米8如圖,滑竿在機械槽內(nèi)運動,ACB為直角,已知滑竿AB長2.5 m,頂點A在AC上滑動,量得滑竿下端B距C點的距離為1.5 m,當(dāng)端點B向右移動0.5 m時,滑竿頂端A下滑0.5m.9為了推廣城市綠色出行,

18、南沙區(qū)交委準(zhǔn)備在蕉門河沿岸東西走向AB路段建設(shè)一個共享單車停放點,該路段附近有兩個廣場C和D,如圖所示,CAAB,DBAB,垂足分別為點A,B.AB3 km,CA2 km,DB1.6 km,試問這個單車停放點E應(yīng)建在距點A多少千米處,才能使它到兩廣場的距離相等?解:設(shè)AEx km時,單車停放點E到兩廣場的距離相等則BE(3x)km.在RtACE中,根據(jù)勾股定理,得AC2AE2CE2;在RtBDE中,根據(jù)勾股定理,得BE2BD2DE2.CEDE,AC2AE2BE2BD2,即22x2(3x)21.62.解得x1.26.這個單車停放點E應(yīng)建在距點A1.26 km處,才能使它到兩廣場的距離相等10如圖

19、,小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m,當(dāng)他把繩子的下端拉開5 m后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,則旗桿的高是( C )A8 m B10 m C12 m D14 m11如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7 m,頂端距離地面2.4 m如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2 m,那么小巷的寬度為( C )A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m12如圖為某樓梯,測得樓梯的長為5 m,高3 m,計劃在樓梯表面鋪地毯,則地毯的長度至少為( D )A4 m B8 m C9 m D7 m13如圖,小李準(zhǔn)備

20、建一個蔬菜大棚,棚寬4 m,高3 m,長20 m,棚的斜面用塑料薄膜遮蓋,不計墻的厚度,則陽光透過的最大面積為100m2.14如圖,長為8 cm的橡皮筋放置在x軸上,固定兩端A和B,然后把中點C向上拉升3 cm到點D,則橡皮筋被拉長了2cm.15(南京)無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示將一根長為20 cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi),木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.16超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因上周末,小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段,嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速,觀測點設(shè)在到公路l的距離為100 m的P處這時,一輛轎車由西向東勻速駛來,測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3 s,并測得A

21、PO60,BPO45,試判斷此車是否超過了80 km/h的限制速度?解:在RtAPO中,APO60,則PAO30.AP2OP200 m,AO100(m)在RtBOP中,BPO45,則BOOP100 m.ABAOBO(100100)m.從A到B小車行駛的速度為(100100)324.4(m/s)87.84 km/h80 km/h.此車超過80 km/h的限制速度17如圖,距沿海某城市A正南220千米的B處,有一臺風(fēng)中心,其最大風(fēng)力為12級,每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米,風(fēng)力就減弱1級,該中心正以每小時15千米的速度沿北偏東30的BC方向移動,且風(fēng)力不變?nèi)舫鞘蠥所受風(fēng)力達到或超過4級,則稱為受臺風(fēng)影響(

22、1)A城市是否會受臺風(fēng)影響?為什么?(2)若會,將持續(xù)多長時間?(3)該城市受臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?解:(1)該城市會受到這次臺風(fēng)的影響理由:過A作ADBC于D.在RtABD中,ABD30,AB220,ADAB110.城市受到的風(fēng)力達到或超過四級,則稱受臺風(fēng)影響,受臺風(fēng)影響范圍的半徑為20(124)160(千米)110160,該城市會受到這次臺風(fēng)的影響(2)以A為圓心,160為半徑作A交BC于E,F(xiàn),則AEAF160.臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程:EF2DE260(千米)臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間t60154(小時)(3)AD距臺風(fēng)中心最近,該城市受到這次臺風(fēng)最大風(fēng)力為12(11020)6.5(級)

23、第3課時利用勾股定理作圖1如圖所示,以數(shù)軸的單位長線段為邊作一個正方形,以數(shù)軸上表示數(shù)1的點為圓心,正方形對角線長為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點A,則點A表示的數(shù)是( D )A1 B2.41 C.eq D12小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個無理數(shù)的準(zhǔn)確位置后,又進一步進行練習(xí):首先畫出數(shù)軸,設(shè)原點為點O,在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點A,然后過點A作ABOA,且AB3.以點O為圓心,OB為半徑作弧,設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點為P,則點P的位置在數(shù)軸上( C )A1和2之間B2和3之間C3和4之間D4和5之間3在數(shù)軸上作出表示的點(保留作圖痕跡,不寫作法)解:如圖所示4如圖,在邊長為1個單位長度的小

24、正方形組成的網(wǎng)格中,點A,B都是格點,則線段AB的長度為(A)A5 B6 C7 D255如圖,圖中小正方形的邊長為1,ABC的周長為( B )A16 B124 C77 D5116利用如圖44的方格,作出面積為8平方單位的正方形,然后在數(shù)軸上表示實數(shù)和.解:如圖所示:7若等邊ABC的邊長為2 cm,則ABC的面積為( A )A.eq cm2 B2 cm2 C3 cm2 D4 cm28B9D10將一副三角尺按如圖所示疊放在一起,若AB12 cm,則AF6cm.11如圖,在ABC中,ABAC13 cm,BC10 cm,求BC邊上的高解:過點A作ADBC于點D.ABAC13 cm,BDCDBC105(

25、cm)AD12(cm)2C13D14(遵義匯川區(qū)模擬)在如圖的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1.(1)請在圖中畫一個邊長為的正方形;(2)這個正方形的面積為10解:如圖所示15如圖,ABC和DCE都是邊長為4的等邊三角形,點B,C,E在同一條直線上,連接BD,求BD的長解:ABC和DCE都是邊長為4的等邊三角形,CBCD.BDCDBC.又BCD180DCE18060120,BDCDBC30.又CDE60,BDE90.在RtBDE中,DE4,BE8,根據(jù)勾股定理,得BD4.16仔細(xì)觀察圖形,認(rèn)真分析下列各式,然后解答問題OA()212,S1;OA()213,S2;OA()214,S3;(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)推算出OA10的長;(3)求出SSSS的值解:(1)OA()21n,Sn(n為正整數(shù))(2)OA()2110,OA10.(3)SSSS()2()2()2()2()2.

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