高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末高效整合2課件 新人教A版選修2-2

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1、 知能整合提升 一、合情推理和演繹推理1歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理 2從推理所得結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā)揮作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得合情推理可以為演繹推理提供方向和思路 二、直接證明和間接證明1直接證明包

2、括綜合法和分析法(1)綜合法是“由因?qū)Ч保菑囊阎獥l件出發(fā)，順著推證，用綜合法證明命題的邏輯關(guān)系是：A B 1 B 2 Bn B(A為已經(jīng)證明過(guò)的命題，B為要證的命題)它的常見(jiàn)書面表達(dá)是“， ”或“ ” (2)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、定理、公理、公式、法則等)，用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：B B1 B2Bn A，它的常見(jiàn)書面表達(dá)是“要證只需”或“ ” 2間接證明主要是反證法反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原

3、命題成立，這樣的證明方法叫做反證法，反證法是間接證明的一種方法反證法主要適用于以下兩種情形：(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形 三、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為歸納奠基，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為歸納遞推，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論正確”的過(guò)程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 【點(diǎn)撥】對(duì)合情推理

4、的認(rèn)識(shí)：合情推理包括歸納推理和類比推理歸納推理是由部分特殊的對(duì)象特征得到一般性的結(jié)論的推理方法它在數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有十分重要的意義，通過(guò)歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，探索新結(jié)論，探索解題思路，預(yù)測(cè)答案等類比推理是從特殊到特殊的一種推理方法，它以比較為基礎(chǔ)，類比法有助于啟迪思維，觸類旁通，拓寬知識(shí)面，發(fā)現(xiàn)命題等，著名哲學(xué)家康德說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路時(shí)，類比法往往能指明前進(jìn)的方向”合情推理的應(yīng)用 特別提醒：(1)歸納推理是由部分到整體、個(gè)體到一般的推理，其結(jié)論正確與否，有待于嚴(yán)格證明(2)進(jìn)行類比推理時(shí)，要合理確定類比對(duì)象，不能亂比，要對(duì)兩類對(duì)象的共同特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比 解析：把已知等式與行數(shù)對(duì)

5、應(yīng)起來(lái)，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)n，加數(shù)的個(gè)數(shù)是2n1；等式右邊都是完全平方數(shù)，行數(shù)等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)11 1 12349 2 33456725 3 54567891049 4 7 所以n(n1)n(2n1)1(2n1)2，即n(n1)(3n2)(2n1)2答案：D 【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)中考查演繹推理的試題的比例比較大，即有選擇、填空，也有解答、證明，立體幾何是考查演繹推理的最好素材演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理，是一種由一般到特殊的推理數(shù)學(xué)中的證明主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，演繹推理的一般模式是“三段論”，包括：大前提、小前提和結(jié)論在演繹推理中，只要前提和推理形

6、式正確，則結(jié)論必定是正確的演繹推理的應(yīng)用 思維點(diǎn)擊 a1，且x1x2，ax1ax2，x1x21，x21，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 小前提函數(shù)f(x)在(1， )上為增函數(shù) 結(jié)論 2在四邊形ABCD中，ABCD，BCAD，求證：ABCD為平行四邊形，寫出三段論形式的演繹推理 (3)由全等三角形的定義可知：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，這一性質(zhì)相當(dāng)于：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果它們?nèi)?，則它們的對(duì)應(yīng)角相等， 大前提ABC和CDA全等， 小前提則它們的對(duì)應(yīng)角相等 結(jié)論用符號(hào)表示，就是ABCCDA12且34且BD. (4)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，

7、那么這兩條直線平行， 大前提直線AB，DC被直線AC所截，內(nèi)錯(cuò)角12，小前提(已證)則AB DC. 結(jié)論同理有：BC AD. (5)如果四邊形兩組對(duì)邊分別平行，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形， 大前提四邊形ABCD中，兩組對(duì)邊分別平行， 小前提則四邊形ABCD是平行四邊形 結(jié)論用符號(hào)表示為：AB DC且AD BC四邊形ABCD為平行四邊形 【點(diǎn)撥】(1)綜合法和分析法是直接證明中兩種最基本的證明方法但這兩種方法證明思路完全相反綜合法是“由因?qū)Ч?，而分析法是“?zhí)果索因”(2)一般情況下是用分析法尋找解題思路，然后用綜合法證明問(wèn)題，它們相互轉(zhuǎn)換、相互滲透、要充分利用這一辯證關(guān)系在解題中綜合法和分析法

8、聯(lián)合運(yùn)用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑綜合法與分析法 思維點(diǎn)擊條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明 3設(shè)a，b 是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且ab，求證：a3b3a2bab2.證明：要證a3b3a2bab2成立，即需證(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需證a2abb2ab成立只需證a22abb20成立，即需證(ab)20成立而由已知條件可知，ab，ab0，(ab)20顯然成立即a3b3a2bab2. 【點(diǎn)撥】對(duì)反證法的認(rèn)識(shí)(1)反證法是一種間接證明的方法，它的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的兩個(gè)命題為等價(jià)命題，它反映了“正難則反”的思想(2)反證法著眼于命題的轉(zhuǎn)換，改變了研究的角度和方向，使論證的目標(biāo)更

9、為明確，由于增加了推理的前提原結(jié)論的否定，更易于開(kāi)拓思路因此對(duì)于直接論證較為困難的時(shí)候，往往采用反證法證明所以反證法在數(shù)學(xué)證明中有著廣泛的應(yīng)用反證法 特別提醒：適宜用反證法證明的命題有：結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的命題關(guān)于唯一性，存在性的命題結(jié)論是以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體，更容易研究的命題 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)思維點(diǎn)擊利用反證法，作出否定結(jié)論的假設(shè)，尋找矛盾 【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法，主要用來(lái)證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題證明時(shí)先證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)nk(kn0，k N

10、*)時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立即可用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意幾個(gè)方面：數(shù)學(xué)歸納法 (1)n的范圍以及遞推的起點(diǎn)；(2)觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)(或其他)，確定nk時(shí)命題的形式f(k)；(3)從f(k1)和f(k)的差異，尋找由k到k1遞推中，左邊要加(乘)上的式子；(4)在歸納遞推中一定要運(yùn)用歸納假設(shè)；(5)注意“歸納猜想證明”的思維模式的應(yīng)用 答案：D 解析：觀察分子中26537110(2)8.答案：A 2下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()ycos x(x R)是三角函數(shù)；三角函數(shù)是周期函數(shù)；ycos x(x R)是周期函數(shù)A BC D解析：按三段論的模式，排列順序正確的是.答

11、案：B 3用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是()A三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”答案：B 答案：C 7已知a，b，c R，且它們互不相等，求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.證明：a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等，a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 8已知abc0，abbcca0，abc0，證明：a，b，c都大于零證明：假設(shè)a0，則a0.abc0，bc0，又由abc0，得bca0abbccaa(bc)bc0，與題設(shè)矛盾，若a0，則與abc0矛盾，必有a0，同理可證：b0，c0.