2019高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn)
1.零點(diǎn)的判斷與證明
例1:已知定義在上的函數(shù),
求證:存在唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)屬于.
【答案】見解析
【解析】,,,在單調(diào)遞增,
,,,,使得
因?yàn)閱握{(diào),所以的零點(diǎn)唯一.
2.零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題
例2:已知函數(shù)滿足,當(dāng),,若在區(qū)間內(nèi),
函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,當(dāng)時(shí),,
所以,而有三個(gè)不同零點(diǎn)與有三個(gè)不同交點(diǎn),如圖所示,可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間,所以可解得:
3.零點(diǎn)的性質(zhì)
例3:已知定義在上的函數(shù)滿足:,且,,則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn),在中,通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對(duì)稱,
由可得是周期為2的周期函數(shù),則在下一個(gè)周期中,關(guān)于中心對(duì)稱,以此類推。
從而做出的圖像(此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到),再看圖像,,可視為將的圖像向左平移2個(gè)單位后再向上平移2個(gè)單位,
所以對(duì)稱中心移至,剛好與對(duì)稱中心重合,如圖所示:可得共有3個(gè)交點(diǎn),
其中,與關(guān)于中心對(duì)稱,所以有。所以.
4.復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)
例4:已知函數(shù),若方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像(如圖),因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個(gè),若要出七個(gè)根,則,,所以,解得:.
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1.設(shè),則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,,∴,
∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的,且為增函數(shù),
∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.
2.已知是函數(shù)的零點(diǎn),若,則的值滿足( )
A. B.
C. D.的符號(hào)不確定
【答案】C
【解析】在上是增函數(shù),若,則.
3.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),則由題意得,解得,
故選C.
4.若,則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )
A.和內(nèi) B.和內(nèi)
C.和內(nèi) D.和內(nèi)
【答案】A
【解析】∵,∴,,,
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知,在區(qū)間,內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)是二次函數(shù),
最多有兩個(gè)零點(diǎn).因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間,內(nèi),故選A.
5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),所以,即0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),令,則,分別畫出函數(shù)和的圖象,如圖所示,兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),
根據(jù)對(duì)稱性知,當(dāng)時(shí)函數(shù)也有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2 C.7 D.0
【答案】B
【解析】方法一:由得或,解得或,
因此函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn).
方法二:函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn).
7.已知函數(shù),則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),,即,解得;當(dāng)時(shí),,即,
解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.
8.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí),與軸無交點(diǎn),不合題意,所以;函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),所以,即,解得或.故選B.
9.已知函數(shù),則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根,畫出的大致圖象(圖略).觀察它與直線的交點(diǎn),得知當(dāng)或時(shí),有交點(diǎn),即函數(shù)有零點(diǎn).故選D.
10.已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)
的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,則,因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù),所以,只有一個(gè)實(shí)根,即只有一個(gè)實(shí)根,則,解得.
11.已知當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在同一直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)與的大致圖象.分兩種情形:
(1)當(dāng)時(shí),,如圖①,當(dāng)時(shí),與的圖象有一個(gè)交點(diǎn),符合題意.
(2)當(dāng)時(shí),,如圖②,要使與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn),
只需,即,解得或(舍去).
綜上所述,.故選B.
12.已知函數(shù)和在的圖像如下,給出下列四個(gè)命題:
(1)方程有且只有6個(gè)根
(2)方程有且只有3個(gè)根
(3)方程有且只有5個(gè)根
(4)方程有且只有4個(gè)根
則正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】每個(gè)方程都可通過圖像先拆掉第一層,找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值,從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù).
(1)中可得,,,進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的,有2個(gè),有2個(gè),總計(jì)6個(gè),(1)正確;
(2)中可得,,進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的,有3個(gè),總計(jì)4個(gè),
(2)錯(cuò)誤;
(3)中可得,,,進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的,有3個(gè),有1個(gè),總計(jì)5個(gè),(3)正確;
(4)中可得:,,進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的,有2個(gè),共計(jì)4個(gè),(4)正確
則綜上所述,正確的命題共有3個(gè).
二、填空題
13.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
【答案】2
【解析】由,得,作出函數(shù)和的圖象,
由上圖知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
14.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為,若,,則所在的區(qū)間是______.
【答案】
【解析】令,則,易知為增函數(shù),且,,∴所在的區(qū)間是.
15.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
【答案】2
【解析】當(dāng)時(shí),令,解得(正根舍去),所以在上有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?,,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),綜上,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
16.已知函數(shù),,若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.
【答案】
【解析】設(shè),,
在同一直角坐標(biāo)系中作出,的圖象如圖所示.
由圖可知有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1,所以有兩組不同解,
消去得有兩個(gè)不等實(shí)根,
所以,即,
解得或.又由圖象得,∴或.
三、解答題
17.關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】顯然不是方程的解,
時(shí),方程可變形為,
又∵在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴在上的取值范圍是,∴,∴,
故的取值范圍是.
18.設(shè)函數(shù).
(1)作出函數(shù)的圖象;
(2)當(dāng)且時(shí),求的值;
(3)若方程有兩個(gè)不相等的正根,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3).
【解析】(1)如圖所示.
(2)∵
故在上是減函數(shù),而在上是增函數(shù).
由且,得且,∴.
(3)由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的正根.
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