2019高考數(shù)學(xué)全冊精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點十六 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1.橢圓的幾何性質(zhì)
例1:如圖,橢圓的上頂點、左頂點、左焦點分別為、、,中心為,其離心率為,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,得
而,所以,故選B.
2.拋物線的幾何性質(zhì)
例2:已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線,點在拋物線上,點在直線上的射影為,且直線的斜率為,則的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點,所以,因為直線的斜率為,所以,所以,
由拋物線定義知,,且,所以是以4為邊長的正三角形,其面積為.故選C.
3.雙曲線的幾何性質(zhì)
例3:已知點是雙曲線的右支上一點,,分別是圓和上的點,則的最大值為_________.
【答案】15
【解析】在雙曲線中,,,,
,,,
,,.
對點增分集訓(xùn)
一、單選題
1.拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值為1,則( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】拋物線上的動點到其焦點的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值,
很明顯滿足最小值的點為拋物線的頂點,據(jù)此可知:,.本題選擇C選項.
2.設(shè)點,是雙曲線的兩個焦點,點是雙曲線上一點,若,則的面積等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】據(jù)題意,,且,解得,.
又,在中由余弦定理,得.
從而,所以,故選B.
3.經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l,交橢圓于,兩點,設(shè)為坐標(biāo)原點,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】橢圓方程為,,,,取一個焦點,則直線方程為,
代入橢圓方程得,,,所以,故選C.
4.過拋物線的焦點作直線交拋物線于,兩點,若線段中點的橫坐標(biāo)為3,,則( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【解析】設(shè)的坐標(biāo)分別為,,線段中點的橫坐標(biāo)為3,則,,由此解得.故選B.
5.已知雙曲線的右焦點為,點在雙曲線的漸近線上,是邊長為2的等邊三角形(為原點),則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】雙曲線的右焦點為,點在雙曲線的漸近線上,是邊長為2的
等邊三角形(為原點),可得,,即,,解得,,
雙曲線的焦點坐標(biāo)在軸,所得雙曲線的方程為,故選B.
6.如圖所示,“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點變軌進(jìn)入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行,之后衛(wèi)星在點第二次變軌進(jìn)入仍以為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行,最終衛(wèi)星在點第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行.已知橢圓軌道和的中心與F在同一直線上,設(shè)橢圓軌道和的長半軸長分別為,,半焦距分別為,,則有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓形軌道的半徑為,,,,
由知,故選C.
7.已知雙曲線,雙曲線的左、右焦點分別為,,是雙曲線的一條漸近線上的點,且,為坐標(biāo)原點,若,且雙曲線,的離心率相同,則雙曲線的實軸長是( )
A.32 B.4 C.8 D.16
【答案】D
【解析】雙曲線的離心率為,設(shè),雙曲線一條漸近線方程為,
可得,即有,
由,可得,即,又,且,
解得,,,即有雙曲線的實軸長為16.故選D.
8.已知是拋物線的焦點,是軸上一點,線段與拋物線相交于點,
若,則( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意得點的坐標(biāo)為,設(shè)點的坐標(biāo),點的坐標(biāo),
所以向量:,,
由向量線性關(guān)系可得:,,解得:,
代入拋物線方程可得:,則,
由兩點之間的距離公式可得:.故選D.
9.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點,,點是曲線與的一個公共點,,分別是和的離心率,若,則的最小值為( )
A. B.4 C. D.9
【答案】A
【解析】由題意設(shè)焦距為,橢圓長軸長為,雙曲線實軸為,
令在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義,①
由橢圓定義,②
又∵,∴,③
,得,④
將④代入③,得,
∴,故選A.
10.已知為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,當(dāng)時,
稱為“和諧三角形”,則“和諧三角形”有( )
A.0個 B.1個 C.3個 D.無數(shù)個
【答案】D
【解析】拋物線方程為,,,為曲線上三點,
當(dāng)時,為的重心,
用如下辦法構(gòu)造,連接并延長至,使,
當(dāng)在拋物線內(nèi)部時,設(shè),若存在以為中點的弦,
設(shè),,
則,,,
則,兩式相減化為,
,所以總存在以為中點的弦,所以這樣的三角形有無數(shù)個,故選D.
11.已知雙曲線的左右焦點分別為,,橢圓的離心率為,直線過點與雙曲線交于,兩點,若,且,則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為( )
A., B., C., D.,
【答案】C
【解析】
由題,,,
由雙曲線的定義可得| ,
∵橢圓的離心率為:,∴,,,
在中,由余弦定理的,
在中,由余弦定理可得:,
∵,,即,
整理得2a2+3c2-7ac=0,
設(shè)雙曲線的離心率為,,解得或(舍).
∴,,即.∴雙曲線的漸近線方程為,
∴漸近線的傾斜角為,.故選C.
12.已知為橢圓上一個動點,過點作圓的兩條切線,切點分別是,,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖,由題意設(shè),則,
∴,
設(shè),則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時.
又當(dāng)點在橢圓的右頂點時,,∴,
此時最大,且最大值.
∴的取值范圍是,故選C.
二、填空題
13.已知過拋物線的焦點,且斜率為的直線與拋物線交于、兩點,則__________.
【答案】
【解析】由知,由焦點弦性質(zhì),
而.
14.已知橢圓的左、右焦點為、,點關(guān)于直線的對稱點仍在橢圓上,
則的周長為__________.
【答案】
【解析】設(shè),,
關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為,
點在橢圓上,則:,則,,則,
故的周長為:.
15.為雙曲線右支上一點,,分別為雙曲線的左、右焦點,且,直線交軸于點,則的內(nèi)切圓半徑為__________.
【答案】2
【解析】∵,的內(nèi)切圓半徑為,
∴,∴,
∴,
∵由圖形的對稱性知:,∴.故答案為2.
16.已知直線與橢圓相切于第一象限的點,且直線與軸、軸分別交于點、,當(dāng)(為坐標(biāo)原點)的面積最小時,(、是橢圓的兩個焦點),若此時在中,的平分線的長度為,則實數(shù)的值是__________.
【答案】
【解析】由題意,切線方程為,
直線與軸分別相交于點,,,,,
,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,
(為坐標(biāo)原點)的面積最小,
設(shè),,
由余弦定理可得,,
,,
,,,
的內(nèi)角平分線長度為,,
,,
,故答案為.
三、解答題
17.設(shè)常數(shù).在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,直線:,曲線:.與軸交于點、與交于點.、分別是曲線與線段上的動點.
(1)用表示點到點距離;
(2)設(shè),,線段的中點在直線,求的面積;
(3)設(shè),是否存在以、為鄰邊的矩形,使得點在上?若存在,求點的坐標(biāo);
若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,.
【解析】(1)方法一:由題意可知:設(shè),
則,∴;
方法二:由題意可知:設(shè),
由拋物線的性質(zhì)可知:,∴;
(2),,,則,
∴,∴,設(shè)的中點,,
,則直線方程:,
聯(lián)立,整理得:,
解得:,(舍去),∴的面積;
(3)存在,設(shè),,則,,
直線方程為,∴,,
根據(jù),則,
∴,解得:,
∴存在以、為鄰邊的矩形,使得點在上,且.
18.與橢圓相交于、兩點,關(guān)于直線的對稱點在橢圓上.斜率為的直線與線段相交于點,與橢圓相交于、兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由橢圓焦距為4,設(shè),,連結(jié),設(shè),
則,又,得,,
,
解得,,所以橢圓方程為.
(2)設(shè)直線方程:,、,
由,得,所以,
由(1)知直線:,代入橢圓得,,得,
由直線與線段相交于點,得,
,
而與,知,,
由,得,所以,
∴四邊形面積的取值范圍.
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