2019屆高考數(shù)學(xué)全冊精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點二 函數(shù)零點
1.零點的判斷與證明
例1:已知定義在上的函數(shù),
求證:存在唯一的零點,且零點屬于.
【答案】見解析
【解析】,,,在單調(diào)遞增,
,,,,使得
因為單調(diào),所以的零點唯一.
2.零點的個數(shù)問題
例2:已知函數(shù)滿足,當(dāng),,若在區(qū)間內(nèi),
函數(shù)有三個不同零點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,當(dāng)時,,
所以,而有三個不同零點與有三個不同交點,如圖所示,可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間,所以可解得:
3.零點的性質(zhì)
例3:已知定義在上的函數(shù)滿足:,且,,則方程在區(qū)間上的所有實根之和為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先做圖觀察實根的特點,在中,通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對稱,
由可得是周期為2的周期函數(shù),則在下一個周期中,關(guān)于中心對稱,以此類推。
從而做出的圖像(此處要注意區(qū)間端點值在何處取到),再看圖像,,可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位,
所以對稱中心移至,剛好與對稱中心重合,如圖所示:可得共有3個交點,
其中,與關(guān)于中心對稱,所以有。所以.故選C.
4.復(fù)合函數(shù)的零點
例4:已知函數(shù),若方程恰有七個不相同的實根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像(如圖),因為最多只能解出2個,若要出七個根,則,,所以,解得:.
對點增分集訓(xùn)
一、選擇題
1.設(shè),則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,,∴,
∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的,且為增函數(shù),
∴的零點所在的區(qū)間是.故選B.
2.已知是函數(shù)的零點,若,則的值滿足( )
A. B.
C. D.的符號不確定
【答案】C
【解析】在上是增函數(shù),若,則.
3.函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為在上是增函數(shù),則由題意得,解得,
故選C.
4.若,則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間( )
A.和內(nèi) B.和內(nèi)
C.和內(nèi) D.和內(nèi)
【答案】A
【解析】∵,∴,,,
由函數(shù)零點存在性定理可知,在區(qū)間,內(nèi)分別存在零點,又函數(shù)是二次函數(shù),
最多有兩個零點.因此函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間,內(nèi),故選A.
5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則的零點個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),所以,即0是函數(shù)的一個零點,當(dāng)時,令,則,分別畫出函數(shù)和的圖象,
如圖所示,兩函數(shù)圖象有一個交點,所以函數(shù)有一個零點,
根據(jù)對稱性知,當(dāng)時函數(shù)也有一個零點.
綜上所述,的零點個數(shù)為3.故選C.
6.函數(shù)的零點個數(shù)為( )
A.3 B.2 C.7 D.0
【答案】B
【解析】方法一:由得或,解得或,
因此函數(shù)共有2個零點.
方法二:函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)共有2個零點.
7.已知函數(shù),則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時,,即,解得;當(dāng)時,,即,
解得,即實數(shù)的取值范圍是.故選D.
8.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)時,與軸無交點,不合題意,所以;函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),所以,即,解得或.故選B.
9.已知函數(shù),則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)的零點就是方程的根,畫出的大致圖象(圖略).觀察它與直線的交點,得知當(dāng)或時,有交點,即函數(shù)有零點.故選D.
10.已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)只有一個零點,則實數(shù)
的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,則,因為是上的單調(diào)函數(shù),所以,只有一個實根,即只有一個實根,則,解得.
11.已知當(dāng)時,函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點,則正實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在同一直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)與的大致圖象.分兩種情形:
(1)當(dāng)時,,如圖①,當(dāng)時,與的圖象有一個交點,符合題意.
(2)當(dāng)時,,如圖②,要使與的圖象在上只有一個交點,
只需,即,解得或(舍去).
綜上所述,.故選B.
12.已知函數(shù)和在的圖像如下,給出下列四個命題:
(1)方程有且只有6個根
(2)方程有且只有3個根
(3)方程有且只有5個根
(4)方程有且只有4個根
則正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層,找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值,從而統(tǒng)計出的總數(shù).
(1)中可得,,,進(jìn)而有2個對應(yīng)的,有2個,有2個,總計6個,(1)正確;
(2)中可得,,進(jìn)而有1個對應(yīng)的,有3個,總計4個,
(2)錯誤;
(3)中可得,,,進(jìn)而有1個對應(yīng)的,有3個,有1個,總計5個,(3)正確;
(4)中可得:,,進(jìn)而有2個對應(yīng)的,有2個,共計4個,(4)正確
則綜上所述,正確的命題共有3個.
二、填空題
13.函數(shù)的零點個數(shù)為________.
【答案】2
【解析】由,得,作出函數(shù)和的圖象,
由上圖知兩函數(shù)圖象有2個交點,故函數(shù)有2個零點.
14.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為,若,,則所在的區(qū)間是______.
【答案】
【解析】令,則,易知為增函數(shù),且,,∴所在的區(qū)間是.
15.函數(shù)的零點個數(shù)是________.
【答案】2
【解析】當(dāng)時,令,解得(正根舍去),所以在上有一個零點;
當(dāng)時,恒成立,所以在上是增函數(shù).又因為,,所以在上有一個零點,綜上,函數(shù)的零點個數(shù)為2.
16.已知函數(shù),,若方程恰有4個互異的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是________________.
【答案】
【解析】設(shè),,
在同一直角坐標(biāo)系中作出,的圖象如圖所示.
由圖可知有4個互異的實數(shù)根等價于與的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標(biāo)都小于1,所以有兩組不同解,
消去得有兩個不等實根,
所以,即,
解得或.又由圖象得,∴或.
三、解答題
17.關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】顯然不是方程的解,
時,方程可變形為,
又∵在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴在上的取值范圍是,∴,∴,
故的取值范圍是.
18.設(shè)函數(shù).
(1)作出函數(shù)的圖象;
(2)當(dāng)且時,求的值;
(3)若方程有兩個不相等的正根,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3).
【解析】(1)如圖所示.
(2)∵
故在上是減函數(shù),而在上是增函數(shù).
由且,得且,∴.
(3)由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時,方程有兩個不相等的正根.
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