2019屆高考數(shù)學(xué)全冊精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性
例1:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【答案】見解析
【解析】第一步:先確定定義域,定義域為,
第二步:求導(dǎo):
,
第三步:令,即,
第四步:處理恒正恒負(fù)的因式,可得,
第五步:求解,列出表格
2.函數(shù)的極值
例2:求函數(shù)的極值.
【答案】的極大值為,無極小值
【解析】
令解得:,的單調(diào)區(qū)間為:
的極大值為,無極小值.
3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值
例3:已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4,則___________.
【答案】
【解析】思路一:函數(shù)的定義域為,.
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,為增函數(shù),所以,,矛盾舍去;
當(dāng)時,若,,為減函數(shù),若,,為增函數(shù),
所以為極小值,也是最小值;
①當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,所以,
所以(矛盾);
②當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,,
所以;
③當(dāng),即時,在上的最小值為,
此時(矛盾).
綜上.
思路二:,令導(dǎo)數(shù),考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得,因此可假設(shè),,分別為函數(shù)的最小值點,求出后再檢驗即可.
對點增分集訓(xùn)
一、單選題
1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,得,
∴結(jié)合函數(shù)的定義域,得當(dāng)時,函數(shù)為單調(diào)減函數(shù).
因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選A.
2.若是函數(shù)的極值點,則( )
A.有極大值 B.有極小值
C.有極大值0 D.有極小值0
【答案】A
【解析】因為是函數(shù)的極值點,所以,,,.當(dāng)時,;當(dāng)時,,因此有極大值,故選A.
3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以對于一切恒成立,得,,
又因為在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,
所以,可知在上有零點,
也就是極值點,即有解,在上解得,
可得,,故選C.
4.函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),則的范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),只需恒成立,
即,.故選C.
5.遇見你的那一刻,我的心電圖就如函數(shù)的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,其定義域為,即,,
則函數(shù)為奇函數(shù),故排除C、D,
,則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,排除B,故選A.
6.函數(shù)在內(nèi)存在極值點,則( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】若函數(shù)在無極值點,則或在恒成立.
①當(dāng)在恒成立時,時,,得;時,,得;
②當(dāng)在恒成立時,則且,得;
綜上,無極值時或.∴在在存在極值.故選A.
7.已知,,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】因為,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上恒成立,
只需,即解得或,故選D.
8.函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖像如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由圖象知和上遞減,因此的解集為.
故選A.
9.設(shè)函數(shù),則( )
A.在區(qū)間,內(nèi)均有零點
B.在區(qū)間,內(nèi)均無零點
C.在區(qū)間內(nèi)有零點,在區(qū)間內(nèi)無零點
D.在區(qū)間內(nèi)無零點,在區(qū)間內(nèi)有零點
【答案】D
【解析】的定義域為,在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,
當(dāng)在區(qū)間上時,在其上單調(diào),,,故在區(qū)間上無零點,
當(dāng)在區(qū)間上時,在其上單調(diào),,,故在區(qū)間上有零點.
故選D.
10.若函數(shù)既有極大值又有極小值,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】,,
函數(shù)既有極大值又有極小值,
有兩個不等的實數(shù)根,
,,則或,故選D.
11.已知函數(shù)的兩個極值點分別在與內(nèi),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數(shù),求導(dǎo),
的兩個極值點分別在區(qū)間與內(nèi),由的兩個根分別在區(qū)間與內(nèi),,
令,轉(zhuǎn)化為在約束條件為時,求的取值范圍,
可行域如下陰影(不包括邊界),
目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,由圖可知,在處取得最大值,在處取得最小值,可行域不包含邊界,的取值范圍.本題選擇A選項.
12.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為,在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為,若在區(qū)間
上,則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴,
∵函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”∴,
∴在上恒成立,即在上恒成立.
∵在上為單調(diào)增函數(shù),∴,∴,
故選D.
二、填空題
13.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】,已知,
當(dāng)或時,,在該區(qū)間是增函數(shù),
當(dāng)時,,在該區(qū)間是減函數(shù),
故函數(shù)在處取極大值,,又,故的最大值是8.
14.若函數(shù)在,上都是單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)的取值集合是______.
【答案】
【解析】,,
函數(shù)在,上都是單調(diào)增函數(shù),
則,即,解得,,即,解得,
則實數(shù)的取值集合是,故答案為.
15.函數(shù)在內(nèi)不存在極值點,則的取值范圍是___________.
【答案】或
【解析】函數(shù)在內(nèi)不存在極值點在內(nèi)單調(diào)函數(shù)或在內(nèi)恒成立,
由在內(nèi)恒成立,,即,
同理可得,故答案為或.
16.已知函數(shù),
① 當(dāng)時,有最大值;
② 對于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù);
③ 對于任意的,函數(shù)一定存在最小值;
④ 對于任意的,都有.
其中正確結(jié)論的序號是_________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
【答案】②③
【解析】由函數(shù)的解析式可得:,當(dāng)時,,,單調(diào)遞增,且,
據(jù)此可知當(dāng)時,,單調(diào)遞增,函數(shù)沒有最大值,說法①錯誤;
當(dāng)時,函數(shù),均為單調(diào)遞增函數(shù),則函數(shù)是上的增函數(shù),說法②正確;
當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,
且當(dāng),據(jù)此可知存在,
在區(qū)間上,,單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,單調(diào)遞增;
函數(shù)在處取得最小值,說法③正確;
當(dāng)時,,
由于,故,,說法④錯誤;
綜上可得:正確結(jié)論的序號是②③.
三、解答題
17.已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)證明:恒成立.
【答案】(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減;(2)見解析.
【解析】(1),
當(dāng)時,恒成立,所以,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,令,得到,所以,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)證法一:由(1)可知,當(dāng)時,,
特別地,取,有,即,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),
因此,要證恒成立,只要證明在上恒成立即可,
設(shè) ,則,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時,,即在上恒成立.
因此,有,又因為兩個等號不能同時成立,所以有恒成立.
證法二:記函數(shù),則,
可知在上單調(diào)遞增,又由,知,在上有唯一實根,
且,則,即(*),
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
所以,結(jié)合(*)式,知,
所以,
則,即,所以有恒成立.
18.已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時,若函數(shù)在上有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),點是曲線上的一個定點,是否存在實數(shù)使得成立?并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)或;(2)不存在,見解析.
【解析】(1)當(dāng)時,,,,,
由題意得,即,
令,則,解得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
,
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
則或時,在上有且只有一個零點.
(2)由,得,
假設(shè)存在,則有,
即,
,
,
,
即,,,
令,則,
兩邊同時除以,得,即,
令,,
令在上單調(diào)遞增,且,
對于恒成立,即對于恒成立,
在上單調(diào)遞增,,
對于恒成立,不成立,
同理,時,也不成立,
不存在實數(shù)使得成立.
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