2019屆高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專練（打包20套）理.zip

2019屆高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專練（打包20套）理.zip,2019,高考,數(shù)學(xué),精準(zhǔn),培優(yōu)專練,打包,20 培優(yōu)點(diǎn)十六 利用空間向量求夾角 1．利用面面垂直建系 例1：在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，． （1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：平面； （2）若，與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）連接，∵四邊形為菱形，∴． ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面．又平面，∴． ∵，∴．∵，∴平面． ∵分別為，的中點(diǎn)，∴，∴平面． （2）設(shè)，由（1）得平面， 由，，得，． 過點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，， 如圖所示， 又，∴為等邊三角形，∴， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面． ∵為平行四邊形，∴，∴平面． 又∵，∴平面． ∵，∴平面平面． 由（1），得平面，∴平面，∴． ∵，∴平面，∴是與平面所成角． ∵，，∴平面，平面，∵， ∴平面平面． ∴，，解得． 在梯形中，易證， 分別以，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，，，，， 由，及，得， ∴，，． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得， 令，得 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得， 令，得．∴， 又∵二面角是鈍角，∴二面角的余弦值是． 2．線段上的動(dòng)點(diǎn)問題 例2：如圖，在中，，，，沿將翻折到的位置， 使平面平面． （1）求證：平面； （2）若在線段上有一點(diǎn)滿足，且二面角的大小為， 求的值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴， ∴，∴．作于點(diǎn)， ∵平面平面，平面平面，∴平面． ∵平面，∴． 又∵，，∴平面． 又∵平面，∴． 又，，∴平面． （2）由（1）知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則，，．設(shè)， 則由， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則由， ?。矫娴囊粋€(gè)法向量可取， ∴． ∵，∴． 3．翻折類問題 例3：如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為中點(diǎn)，分別將，沿，所在直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2．在三棱錐中，為中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）求二面角的大?。? 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）在正方形中，為中點(diǎn)，，， ∴在三棱錐中，，． ∵，∴平面． ∵平面，∴． （2）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接． 過點(diǎn)作的平行線． ∵平面，∴，． ∵，為的中點(diǎn)，∴．∴． 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系． ，，，． ∵，為的中點(diǎn)，∴． ∵平面，平面，∴平面平面． ∵平面平面，平面， ∴平面．∵． ∴平面的法向量．． 設(shè)直線與平面所成角為，則． ∴直線與平面所成角的正弦值為． （3）由（2）知，，． 設(shè)平面的法向量為，則有即， 令，則，．即．∴． 由題知二面角為銳角，∴它的大小為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．如圖，在所有棱長(zhǎng)均為的直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)的中點(diǎn)，以，，為，，軸建立坐標(biāo)系， 則，，，， 則，， 設(shè)與成的角為，則，故選C． 2．在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)在棱上， 且，若與平面所成的角為，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易求點(diǎn)． 平面的一個(gè)法向量是，∴，則．故選D． 3．如圖，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點(diǎn)，，則空間中兩條直線與所成的角為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示， ∵圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點(diǎn)，， ∴可得，，，， 則，， 設(shè)空間兩條直線與所成的角為，∴， ∴，即直線與所成的角為，故選B． 4．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，，，， 則，， ∵是的中點(diǎn)，∴， 設(shè)平面的法向量，直線與平面所成角為， 則可取，，故選D． 5．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)與分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)與分別是和上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，， 則，， 由于，∴，∴， 故， ∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度取得最小值，且最小值為．故選A． 6．如圖，點(diǎn)分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，平面的一個(gè)法向量為：， 由空間向量的結(jié)論可得：．故選C． 7．如圖所示，五面體中，正的邊長(zhǎng)為1，平面，，且． 設(shè)與平面所成的角為，，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，平面與平面所成角的正切值為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 取的中點(diǎn)，則，則平面的一個(gè)法向量為， 由題意， 又由，∴，解得，∴的最大值為， 當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為， 則， 取，由平面的法向量為， 設(shè)平面和平面所成的角為， 則，∴，∴，故選C． 8．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心， 則與底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 設(shè)邊長(zhǎng)為1，則，， ∴．又平面的法向量為． 設(shè)與底面所成角為，則． 故直線與底面所成角的正弦值為．故選B． 9．如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為、、軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，∴， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則， 取，得，平面的法向量為， ∴．∴平面與平面的夾角的余弦值為．故選B． 10．在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系： 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，可得，，，， ∴，，， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，∴，即， 取，得，∴平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)直線與平面所成角為，∴； ∴，即直線與平面所成角的余弦值是．故選C． 11．已知四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，使二面角 的大小在內(nèi)，則直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中點(diǎn)，連結(jié)，， ∵．，∴，，且，， ∴是二面角的平面角， 以為原點(diǎn)，為軸，為軸， 過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ，，， 設(shè)二面角的平面角為，則， 連、，則，， ∴，， 設(shè)、的夾角為，則， ∵，∴， 故，∴．故選A． 12．正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與AD1所成角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)坐標(biāo)為， 則，， 設(shè)、的夾角為， 則， ∴當(dāng)時(shí)，取最大值，． 當(dāng)時(shí)，取最小值，． ∵，∴與所成角的取值范圍是．故選D． 二、填空題 13．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為________． 【答案】 【解析】在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，∴，． 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作的垂線為軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， ∴，， 設(shè)異面直線與所成角為，則． ∴異面直線與所成角的余弦值為． 14．已知四棱錐的底面是菱形，，平面，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，在棱上，若，則直線與平面所成角的正弦值為__________． 【答案】 【解析】以點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2， 則， ，，∴， 平面的一個(gè)法向量為， 則， 即直線與平面所成角的正弦值為． 15．設(shè)，是直線，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，則，所成二面角中較小的一個(gè)的余弦值為________． 【答案】 【解析】由題意，∵，， ∴， ∵，，向量在上，向量在上， ∴，所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為，故答案為． 16．在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，，，則當(dāng)變化時(shí)，直線與平面所成角的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，， 設(shè)平面的法向量，，， ∴，得， 又，∴， ∴， ∴，則 三、解答題 17．如圖所示：四棱錐，底面為四邊形，，，，平面平面，，，， （1）求證：平面； （2）若四邊形中，，是否在上存在一點(diǎn)，使得直線與平面 所成的角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在，． 【解析】（1）設(shè)，連接 ，為中點(diǎn) 又， ∵平面平面，平面平面 平面，而平面 在中，由余弦定理得， ，而 平面． （2）過作垂線記為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系： ，，，， ，，設(shè) ， 設(shè)平面法向量為， ∴，取， 設(shè)與平面所成角為， ， 解，． 18．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，． （1）求證：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，， ∵底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴，且， ∵，，，∴， ∴，又∵，∴， ∴，又∵，∴平面，又∵平面， ∴平面平面． （2）如圖所示， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，其中， 則，，，， ∴，，， 設(shè)為平面的法向量， 則，即，令，得； 設(shè)為平面的法向量，則，即， 令，得；∴， ∴二面角的正弦值為． 22 培優(yōu)點(diǎn)一 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.單調(diào)性的判斷 例１：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． （2）的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 【答案】（1）D；（2）， 【解析】（1）因?yàn)?，在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為． （2）由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的圖象如圖． 由圖象可知，函數(shù)在，上是增函數(shù)． 2．利用單調(diào)性求最值 例2：函數(shù)的最小值為________． 【答案】1 【解析】易知函數(shù)在上為增函數(shù)，∴時(shí)，． 3．利用單調(diào)性比較大小、解抽象函數(shù)不等式 例3：（1）已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為 （ ） A． B． C． D． （2）定義在R上的奇函數(shù)在上遞增，且，則滿足的的集合為________________． 【答案】（1）D；（2） 【解析】（1）根據(jù)已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上是減函數(shù)， 因?yàn)?，且，所以? （2）由題意知，，由得或 解得或． ４．奇偶性 例４：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又在上單調(diào)遞增， ，所以，所以． ５．軸對(duì)稱 例５：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上只有1和3兩個(gè)零點(diǎn)，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A．404 B．804 C．806 D．402 【答案】C 【解析】，為偶函數(shù)，，關(guān)于 ，軸對(duì)稱，為周期函數(shù)，且， 將劃分為 關(guān)于，軸對(duì)稱， ，， 在中只含有四個(gè)零點(diǎn)，而共201組 所以；在中，含有零點(diǎn)，共兩個(gè)， 所以一共有806個(gè)零點(diǎn) ６．中心對(duì)稱 例６：函數(shù)的定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則（ ） A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C． D．是奇函數(shù) 【答案】D 【解析】從已知條件入手可先看的性質(zhì)，由，為奇函數(shù)分別可得到：，，所以關(guān)于，中心對(duì)稱，雙對(duì)稱出周期可求得，所以C不正確，且由已知條件無法推出一定符合A，B． 對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，進(jìn)而可推出關(guān)于中心對(duì)稱， 所以為圖像向左平移3個(gè)單位，即關(guān)于對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，D正確． ７．周期性的應(yīng)用 例７：已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且， 則的值為（ ） A． B．1 C．0 D．無法計(jì)算 【答案】C 【解析】由題意，得，∵是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)， ∴，，∴， ∴，∴，∴的周期為4， ∴，， 又∵，∴． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則的值為（ ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由圖象易知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，令，∴． 2．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上是增函數(shù)，則且，即． 3．設(shè)函數(shù)，則是（ ） A．奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) 【答案】A 【解析】易知的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)， 又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)． 4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，， ，則，，的大小關(guān)系為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，∴，又在上單調(diào)遞增， ∴，即，故選B． 5．已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由已知得，，則有解得，故選B． 6．函數(shù)的圖象可能為（ ） 【答案】D 【解析】因?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除A，B．當(dāng)時(shí)，，排除C，故選D． 7．奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，則的值為（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】∵為偶函數(shù)，∴，則， 又為奇函數(shù)，則，且． 從而，的周期為4． ∴，故選A． 8．函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，所得圖象與曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為．依題意，的圖象向右平移一個(gè)單位， 得的圖象．∴的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位得到．∴． 9．使成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出，的圖象，知滿足條件的，故選A． 10．已知偶函數(shù)對(duì)于任意都有，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的， 則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，∴函數(shù)的周期是2． ∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，． ∵在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，∴，即． 11．對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，且， 則（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱， 即函數(shù)是偶函數(shù)，令，則， ∴，即，則， 即，則函數(shù)的周期是2，又， 則． 12．已知函數(shù)，，若存在，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，， 若，則，即，即， 解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D． 二、填空題 13．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的遞減區(qū)間是_______． 【答案】 【解析】由題意知，函數(shù)的圖象如圖所示的實(shí)線部分， 根據(jù)圖象， 的減區(qū)間是． 14．若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為， 則________． 【答案】 【解析】由于函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以． 15．設(shè)函數(shù)，，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取 值范圍是________． 【答案】 【解析】如圖作出函數(shù)與的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，因此的取值范圍是． 16．設(shè)定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①；②；③當(dāng)時(shí)，，則________． 【答案】 【解析】依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， ∴ ． 三、解答題 17．已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù)． （1）求函數(shù)的定義域； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值； （3）若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由，得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋? （2）設(shè)，當(dāng)，時(shí)，∴． 因此在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)．則． （3）對(duì)任意，恒有．即對(duì)恒成立． ∴．令，． 由于在上是減函數(shù)，∴． 故時(shí)，恒有．因此實(shí)數(shù)的取值范圍為． 18．設(shè)是定義域?yàn)榈闹芷诤瘮?shù)，最小正周期為2，且，當(dāng)時(shí)，． （1）判定的奇偶性； （2）試求出函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式． 【答案】（1）是偶函數(shù)；（2）． 【解析】（1）∵，∴． 又，∴．又的定義域?yàn)?，∴是偶函?shù)． （2）當(dāng)時(shí)，，則； 進(jìn)而當(dāng)時(shí)，，． 故． 10 培優(yōu)點(diǎn)七 解三角形 1．解三角形中的要素 例1：的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則_____． 【答案】 【解析】（1）由已知，，求可聯(lián)想到使用正弦定理：， 代入可解得：．由可得：，所以． 2．恒等式背景 例2：已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊， 且有． （1）求； （2）若，且的面積為，求，． 【答案】（1）；（2）2，2． 【解析】（1） ， 即 ∴或（舍），∴； （2）， ， ∴，可解得． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．在中，，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 且， 由余弦定理可得：．故選A． 2．在中，三邊長(zhǎng)，，，則等于（ ） A．19 B． C．18 D． 【答案】B 【解析】∵三邊長(zhǎng)，，， ∴， ．故選B． 3．在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若，則三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【答案】C 【解析】∵，由正弦定理，，∴， ∵，，為的內(nèi)角，∴，，， ∴，，整理得， ∴，即．故一定是等腰三角形．故選C． 4．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， ∴由余弦定理，可得：， 解得：，，∴．故選A． 5．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)正弦定理由得：， 所以，即， 則， 又，所以．故選A． 6．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，如果，且，那么外接圓的半徑為（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因?yàn)?，所以，化為? 所以，又因?yàn)?，所以? 由正弦定理可得，所以，故選A． 7．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若， 則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋裕? 也就是，所以，從而， 故，為等邊三角形．故選C． 8．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，且滿足，則是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得： ，即， ∵，，為三角形的內(nèi)角，∴，即， 則為直角三角形，故選B． 9．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【解析】因?yàn)椋裕? 又，∴，解方程組得，， 由余弦定理得，所以．故選A． 10．在中，，，分別為角，，所對(duì)的邊．若， 則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∵，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案為C． 11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，則是（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】∵，由正弦定理得：，，代入， 得，∴進(jìn)而可得， ∴，則是等邊三角形．故選D． 12．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，， 則（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為：， 去分母移項(xiàng)得：， 所以， 所以．由同角三角函數(shù)得， 由正弦定理，解得所以或（舍）．故選B． 二、填空題 13．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，則角的最大值為_____； 【答案】 【解析】在中，由角的余弦定理可知 ， 又因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立． 14．已知的三邊，，成等比數(shù)列，，，所對(duì)的角分別為，，，則的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】∵的三邊，，成等比數(shù)列， ∴，得， 又∵，∴，， 可得，故答案為． 15．在中三個(gè)內(nèi)角，，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則面積的最大值是________ 【答案】 【解析】∵， ∴， 則，結(jié)合正弦定理得，即， 由余弦定理得，化簡(jiǎn)得， 故，，故答案為． 16．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列，， 則面積的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】∵中，，成等差數(shù)列，∴． 由正弦定理得，∴，， ∴ ， ∵為銳角三角形，∴，解得． ∴，∴， ∴，故面積的取值范圍是． 三、解答題 17．己知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且． （1）求角的大?。? （2）若，且的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得，， ∵，∴，即． ∵∴，∴，∴． （2）由可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：， ∴． 18．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，． ． （1）求的面積． （2）若，求的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意， 在中，由余弦定理可得 即或（舍）， ∴的面積． （2）在中，由正弦定理得， 代入得，由為銳角，故， 所以， 在中，由正弦定理得， ∴，解得． 9 培優(yōu)點(diǎn)三 含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造 1．對(duì)于，可構(gòu)造 例1：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)，所以，由于對(duì)任意，， 所以恒成立，所以是上的增函數(shù)， 又由于，所以， 即的解集為．故選B． 2．對(duì)于，構(gòu)造；對(duì)于，構(gòu)造 例2：已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且當(dāng)，成立，，，，則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)． 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減． 因?yàn)?，，，所以，所以．故選D． 3．對(duì)于，構(gòu)造；對(duì)于或，構(gòu)造 例3：已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】構(gòu)造函數(shù)，則， 因?yàn)榫胁⑶?，所以，故函?shù)在上單調(diào)遞減， 所以，，即，， 也就是，． 4．與，構(gòu)造 例4：已知函數(shù)對(duì)任意的滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】提示：構(gòu)造函數(shù)． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足不等式恒成立，對(duì)任意正數(shù)、，若， 則必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知∴構(gòu)造函數(shù)， 則，從而在上為增函數(shù)。 ∵，∴，即，故選C． 2．已知函數(shù)滿足，且，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構(gòu)造新函數(shù)，則， ，對(duì)任意，有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以的解集為，即的解集為，故選D． 3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題得，設(shè)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，，所以． 當(dāng)時(shí)，，，所以． 當(dāng)時(shí)，，所以． 綜上所述，故答案為C． 4．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減， 因?yàn)?，即?dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱， 所以函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心， 由于，即函數(shù)過點(diǎn)， 其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)上， 所以有，所以， 而不等式，即，即，所以， 故使得不等式成立的的取值范圍是．故選B． 5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，為奇函數(shù)，函數(shù)對(duì)于任意的滿足， 得，即， 所以在上單調(diào)遞增；又因?yàn)闉榕己瘮?shù)， 所以在上單調(diào)遞減．所以，即． 故選C． 6．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減， 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，∴，． 因此不等式等價(jià)于，即，故選B． 7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是偶函數(shù)，則的對(duì)稱軸為， 構(gòu)造函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱， 當(dāng)時(shí)，由，得， 則在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增， 故，∴．本題選擇A選項(xiàng)． 8．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，， 若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)， 設(shè)，∴為上的偶函數(shù)，∴， ∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． ，，， ∵，∴．即，故選C． 9．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）， 且當(dāng)時(shí)，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，∴， ∵，∴時(shí)，，則， ∴，在上單調(diào)遞減，∴， 即， ∵，∴， ∴，，故選C． 10．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，都有，則使得成立的的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構(gòu)造函數(shù)：，， ∵對(duì)任意，都有， ∴， ∴函數(shù)在單調(diào)遞減，由化為：， ∴．∴使得成立的的取值范圍為．故選D． 11．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足且（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），若且，則下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】構(gòu)造函數(shù)，，所以是上的減函數(shù)． 令，則，由已知，可得，下面證明，即證明， 令，則，即在上遞減，，即， 所以，若，，則．故選C． 12．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足： ，且， 又時(shí)，，即， ∴，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)， 又，∴是偶函數(shù)； ∴時(shí)，是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)?，且? 可得函數(shù)與的大致圖象如圖所示， ∴由圖象知，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選C． 二、填空題 13．設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，且，，．則的值為________． 【答案】 【解析】由得，所以，即， 設(shè)函數(shù)，則此時(shí)有，故，． 14．已知，為奇函數(shù)，，則不等式的解集為_________． 【答案】 【解析】∵為奇函數(shù)，∴，即， 令，，則， 故在遞增，，得， 故，故不等式的解集是，故答案為． 15．已知定義在實(shí)數(shù)集的函數(shù)滿足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】設(shè)，則不等式等價(jià)為， 設(shè)，則， ∵的導(dǎo)函數(shù)，∴，函數(shù)單調(diào)遞減， ∵，∴，則此時(shí)，解得， 即的解為，所以，解得， 即不等式的解集為，故答案為． 16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．若時(shí)，， 則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由已知得，為增函數(shù)， 由為奇函數(shù)得，即， ∴當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，，又是奇函數(shù)， ∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，． ∴不等式的解集為．故答案為． 10 培優(yōu)點(diǎn)九 線性規(guī)劃 1．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題應(yīng)注意取點(diǎn)是否取得到 例1：已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示： 由當(dāng)動(dòng)直線過時(shí)，取最小值為6，故選C． 2．目標(biāo)函數(shù)為二次式 例2：若變量，滿足，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】目標(biāo)函數(shù)可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， 所以只需求出可行域里距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可，作出可行域， 觀察可得最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以． 3．目標(biāo)函數(shù)為分式 例3：設(shè)變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求可視為點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率． 從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可， 可得在處的斜率最小，即， 在處的斜率最大，為， 結(jié)合圖像可得的范圍為．故選D． 4．面積問題 例4：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分成面積相等的兩部分，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在坐標(biāo)系中作出可行域， 如圖所示為一個(gè)三角形，動(dòng)直線為繞定點(diǎn)的一條動(dòng)直線， 設(shè)直線交于，若將三角形分為面積相等的兩部分，則， 觀察可得兩個(gè)三角形高相等，所以，即為中點(diǎn)， 聯(lián)立直線方程可求得，，則，代入直線方程可解得． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由圖可知，可行域?yàn)榉忾]的三角區(qū)域， 由在軸上的截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大， 所以最優(yōu)解為，所以的最大值為1，故選B． 2．已知實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則其表示的平面區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】滿足約束條件，如圖所示： 可知范圍擴(kuò)大，實(shí)際只有， 其平面區(qū)域表示陰影部分一個(gè)三角形，其面積為．故選B． 3．已知實(shí)數(shù)，滿足，若只在點(diǎn)處取得最大值，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式組作可行域如圖， 聯(lián)立，解得,當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)化為， 由圖可知，可行解使取得最大值，符合題意； 當(dāng)時(shí)，由，得，此直線斜率大于0， 當(dāng)在軸上截距最大時(shí)最大， 可行解為使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，符合題意； 當(dāng)時(shí)，由，得，此直線斜率為負(fù)值， 要使可行解為使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的唯一的最優(yōu)解， 則，即． 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C． 4．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫出不等式表示的可行域，如圖陰影三角形所示， 由題意得，． 由得， 所以可看作點(diǎn)和連線的斜率，記為， 由圖形可得， 又，，所以， 因此或，所以的取值范圍為．故選C． 5．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由實(shí)數(shù)，滿足約束條件作出可行域，如圖： ∵，，∴， 聯(lián)立，解得， 的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，其最大值． 故選D． 6．已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出可行域如圖： 觀察圖象可知，最小距離為點(diǎn)到直線的距離， 即，故選C． 7．，滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A．或 B．2或 C．2或1 D．2或 【答案】D 【解析】由題意作出約束條件，平面區(qū)域， 將化為，相當(dāng)于直線的縱截距， 由題意可得，與或與平行， 故或；故選D． 8．若，滿足不等式組，則成立的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示： 因?yàn)楸硎军c(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率， 所以成立的點(diǎn)只能在圖中的內(nèi)部（含邊界）， 所以由幾何概型得：成立的概率為， 由，得，由，得， 由，得，由，解得， 由，解得，所以，， 所以成立的概率為，故選A． 9．若，滿足不等式組，則的最小值為（ ） A．7 B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】畫出可行城如圖所示， 目標(biāo)函數(shù)可化為，共圖象是對(duì)稱軸為的兩條射線， 由得取得最小值時(shí)的最優(yōu)解為． 即．故選C． 10．已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．則的最大值為（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】如圖所示：，即， 首先做出直線：，將平行移動(dòng)， 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最大，從而最大． 因?yàn)椋实淖畲笾禐?．故選C． 11．若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式，可行域如圖： ∵平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足， ∴直線與可行域有交點(diǎn)，解方程組得． ∴點(diǎn)在直線下方．可得．解得．故選B． 12．已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切， 則圓心與點(diǎn)連線斜率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出可行域如圖， 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心，半徑為1， 因?yàn)閳A與軸相切，所以， 直線分別與直線與交于點(diǎn)，， 所以，圓心與點(diǎn)連線斜率為， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)； 所以圓心與點(diǎn)連線斜率的取值范圍是，故選A． 二、填空題 13．設(shè)，滿足，則的最大值為____________． 【答案】13 【解析】如圖，作出可行域（圖中陰影部分）， 目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最大值13．故答案為13． 14．若變量，滿足約束條件，則的最小值為_________． 【答案】1 【解析】作可行域，，表示可行域內(nèi)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方， 由圖可得最小值為． 15．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______． 【答案】4 【解析】由實(shí)數(shù)，滿足，作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得，， 其幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率加2． ∵，∴的最小值為4．故答案為4． 16．某公司計(jì)劃明年用不超過6千萬元的資金投資于本地養(yǎng)魚場(chǎng)和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)．經(jīng)過對(duì)本地養(yǎng)魚場(chǎng)年利潤(rùn)率的調(diào)研，其結(jié)果是：年利潤(rùn)虧損的概率為，年利潤(rùn)獲利的概率為，年利潤(rùn)獲利的概率為，對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的調(diào)研結(jié)果是：年利潤(rùn)獲利為的概率為，持平的概率為，年利潤(rùn)虧損的可能性為．為確保本地的鮮魚供應(yīng)，市政府要求該公司對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的投資不得高于本地養(yǎng)魚場(chǎng)的投資的2倍．根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，該公司如何分配投資金額，明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)之和最大值為_________千萬． 【答案】 【解析】設(shè)本地養(yǎng)魚場(chǎng)平均年利潤(rùn)，遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)平均平均年利潤(rùn)； ，； 設(shè)本地養(yǎng)魚場(chǎng)投千萬元，遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)投千萬元， 則利潤(rùn)之和，， 如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)利潤(rùn)最大，千萬元． 16