平面幾何

1、高級(jí)機(jī)械設(shè)計(jì)制圖培訓(xùn),制圖平面幾何畫(huà)法教案,1用圓弧連接兩直線,如圖1-46所示，已知直線AC和CB，連接圓弧的半徑為R，求作連接圓弧。,作圖步驟：,（1）在直線AC上任找一點(diǎn)并以其為垂足作直線AC的垂線，再在該垂線上找到垂足的距離為R的另一點(diǎn)，并過(guò)該點(diǎn)作直線AC的平行線。,（2）用同樣方法作出距離等于R的BC直線的平行線。,圖1-46 用圓弧連接兩直線,（3）找到兩平行線的交點(diǎn)0即為連接圓弧的圓心。,（4）自點(diǎn)0分別向直線AC和BC作垂線，得垂足1、2，即為連接圓弧的連接點(diǎn)（切點(diǎn)）。,（5）以0為圓心、R為半徑作圓弧12，完成連接作圖。,2用圓弧。

2、10 / 10平面幾何五種模型等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型 等底等高的2個(gè)三角形面積相等2個(gè)三角形高相等，面積比=底之比2個(gè)三角形底相等，面積比=高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半3 2個(gè)平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個(gè)平行四邊形底相等，面積比=高之比2、鳥(niǎo)頭模型（共角定理）鳥(niǎo)頭定理：2個(gè)三角形中，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這2個(gè)三角形叫做共角三角形。

3、小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊）目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型）， 掌握五大面積模型的各種變形知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平。

4、.高中平面幾何葉中豪學(xué)習(xí)要點(diǎn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化圓冪與根軸Ptolemy定理及應(yīng)用幾何變換及相似理論位似及其應(yīng)用完全四邊形與Miquel點(diǎn)垂足三角形與等角共軛反演與配極，調(diào)和四邊形射影幾何復(fù)數(shù)法及重心坐標(biāo)方法例題和習(xí)題1四邊形ABCD中，AB=BC，DEAB，CDBC，EFBC，且。求證：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）2已知相交兩圓O和O交于A、B兩點(diǎn)，且O恰在圓O上，P為圓O的AOB弧段上任意一點(diǎn)。APB的平分線交圓O于Q點(diǎn)。求證：PQ2=PAPB。（10092401-1. gsp）3設(shè)三角形ABC的Fermat點(diǎn)為R，連結(jié)AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九點(diǎn)圓心分別為D，E，F(xiàn)，則三角形。

5、平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明一、 塞瓦定理1塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有，所以同理可得，三式相乘得注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”2塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，。

6、第一講 注意添加平行線證題在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問(wèn)題時(shí),若能依據(jù)證題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡(jiǎn)潔.添加平行線證題,一般有如下四種情況.1 為了改變角的位置大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì),常可通過(guò)添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.例1 設(shè)P、Q為線段BC上兩點(diǎn),且BPCQ,A為BC外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使BAPCAQ時(shí),ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答： 當(dāng)。

7、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）1 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長(zhǎng)：4 垂線定理：高線長(zhǎng)：5 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平。

8、高中平面幾何定理匯總及證明1. 共邊比例定理有公共邊AB的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點(diǎn)M，則有以下比例式成立： PAB的面積： QAB的面積PM：QM.證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證SPAB=(SPAM-SPMB)=(SPAM/SPMB-1)SPMB=(AM/BM-1)SPMB(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）同理，SQAB=(AM/BM-1)SQMB所以，SPAB/SQAB=SPMB/SQMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）定理得證！特殊情況：當(dāng)PBAQ時(shí)，易知PAB與QAB的高相等，從而SPAB=SQAB，反之，SPAB=SQAB，則PBAQ。 2. 正弦定理在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它。

9、小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似，共邊）目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥(niǎo)頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型）， 掌握五大面積模型的各種變形知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平。

10、平面幾何知識(shí)點(diǎn)匯總（一）知識(shí)點(diǎn)一 相交線和平行線1.定理與性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。2.垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。3.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。4.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。5.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：。

11、第一講 注意添加平行線證題在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問(wèn)題時(shí),若能依據(jù)證題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡(jiǎn)潔.添加平行線證題,一般有如下四種情況.1、為了改變角的位置大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì),?？赏ㄟ^(guò)添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.例1 、設(shè)P、Q為線段BC上兩點(diǎn),且BPCQ,A為BC外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使BAPCAQ時(shí),ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：。

12、01 凸四邊形 ABCD 的對(duì)角線交于點(diǎn) M，點(diǎn) P、Q 分別是 AMD 和CMB 重心，R、S 分 別是DMC 和MAB 的垂心求證 PQRS 證：過(guò) A、C 分別作 BD 的平行線，過(guò) B、D 分別作 AC 的平行線這四條直線分別相 交于 X、 W、Y、Z 則四邊形 XWYZ 為平行四邊形，且 XWAC XZ 則四邊形 XAMD、MBYC 皆為平行四邊形 由其對(duì)角線互相平分知 MX 在AMD 中線所在直線上， MY 在BMC 中線所在直線上，且 = = MPMX 13 MQMY XYPQ 故欲證原命題，只需證 XY RS，這等價(jià)于 SY 2SX 2 = RY 2RX 2 下證上式：由 S 為AMB 垂心知 SBAM SBWY 同理 SAWX則勾股定理知 SY 2 = SB 2 + BY。

13、回顧作業(yè)：,由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題，下面我們通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用。,2.5.1平面幾何中的向量方法,一、長(zhǎng)度關(guān)系,例1、平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？,1.長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？,2.類(lèi)比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？,用向。

14、高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）1 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長(zhǎng)：4 垂線定理：高線長(zhǎng)：5 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平。

15、幾何的初步知識(shí)平面圖形知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：1. 直線、線段、射線直線可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng).直線上兩點(diǎn)之間的一段叫做線段.把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng),就得到一條射線.2. 垂線和平行線垂線 兩條直線相交成直角時(shí),這兩條直線叫做互相垂直.其中一條叫做另一條的垂線.平行線 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.3. 角從一點(diǎn)引出的兩條射線所圍成的圖形叫做角.(要了解:銳角、直角、鈍角、平角)4. 長(zhǎng)方形對(duì)邊相等,四個(gè)角都是直角的四邊形叫做長(zhǎng)方形.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積公式:5. 正方形四條邊都相等,四個(gè)角都是直角的四邊形,叫做正方形.正方形的周長(zhǎng)和面積公。

16、初中生平面幾何,知識(shí)點(diǎn)及例題解答,目錄,一、圖形的認(rèn)知及簡(jiǎn)單圖形,幾何圖形的定義,立體圖形和平面圖形,展開(kāi)圖、多面體以及旋轉(zhuǎn)體,直線、射線、線段,線段的中點(diǎn),如圖，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段，點(diǎn)B叫做線段AC。

17、本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān),本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān),填一填知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn),本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān),填一填知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn),本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān),研一研問(wèn)題探究、課堂更高效,本課時(shí)欄目開(kāi)關(guān),研一研問(wèn)題探究、課堂更高效,本課時(shí)欄目。

18、2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料平面幾何名定理 四個(gè)重要定理： 梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線） ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)）。